利用导数求函数的最值
共345题

· 利用导数求函数的最值

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是　　。

正确答案

解析

∵某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是=124，

∴==124，解得a=124，

∴这组数据的方差是S2=（（121﹣124）2+（127﹣124）2+（123﹣124）2）+（124﹣124）2+（125﹣124）2=4

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

在中，角所对的边分别为，且满足，。

（1）求的面积；

（2）若，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为，，

又由，得，。 w.

（2）对于，又，或，

由余弦定理得，。

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知各项均为正数的数列{} 满足（），且是的等差中项.

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若=，求使S>50成立的正整数n的最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵，

∴,

∵数列{}的各项均为正数，∴，

∴，

即（），所以数列{}是以2为公比的等比数列.…3分

∵是的等差中项，

∴，∴，∴，

∴数列{}的通项公式.……………6分

（2）由（1）及=得，，………8分

∵，

∴ 1

∴ ②

②-1得，

=……………………………10分

要使S>50成立，只需2n+1-2>50成立，即2n+1>52，n5

∴使S>50成立的正整数n的最小值为5.……12分

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

（1）求q的值；

（2）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）由题设

（2）若

当故

若

当

故对于

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 16 分

设是定义在的可导函数，且不恒为0，记，若对定义域内的每

一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，

则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）。

（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；

（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是

否为“2阶负函数”？并说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意，在上单调递增，

故恒成立，得，

因为，所以。

而当时，显然在恒成立，

所以。

（2）①先证：

若不存在正实数，使得，则恒成立。

假设存在正实数，使得，则有，

由题意，当时，，可得在上单调递增，

当时，恒成立，即恒成立，

故必存在，使得（其中为任意常数），

这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立，

所以当时，，即；

②再证无解析：

假设存在正实数，使得，

则对于任意，有，即有，

这与①矛盾，故假设不成立，

所以无解，

综上得，即，

故所有满足题设的都是“2阶负函数”。

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