利用导数求函数的最值
共345题

· 利用导数求函数的最值

利用导数求函数的最值
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆E:=1(a>b>0)，以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为。

（1）求椭圆E的方程;

（2）若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足，证明为定值,并求出该值.

正确答案

见解析

解析

（1）抛物线y2=8x的焦点为(2,0),

又椭圆以抛物线焦点为顶点,∴a=2, 又e==,∴c=1,∴b2=3.

∴椭圆E的方程为+=1. …… 4分

（2）由（1）知,F(-1,0),

由消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵l与椭圆交于两点,∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1、x2是上述方程的两个根,∴x1+x2=-,x1·x2=, …… 6分

又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=

∴=+=（-,）, …… 8分

由点P在椭圆上,得+=1.整理得4m2=3+4k2,

又Q(-4,-4k+m),∴=(-3,-4k+m). …… 10分

∴·=（-,）·(-3,m-4k)

=+=+==.

即·为定值. …… 12分

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则

正确答案

解析

由已知于是,由数列各项都是正数，解得,. 故选D.

知识点

利用导数求函数的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（　　）

正确答案

解析

将向量投影到上，即过点作的平行线，分别交于点由系数的几何意义知，

于是

又

所以而所以故选C.

知识点

利用导数求函数的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）

①；②；③；④。

A①③

B②③

C①④

D②④

正确答案

解析

略

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

如图所示，正方体的棱长为6，则以正方体的中心为顶点，以平面截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为

正确答案

解析

为正方体外接球的球心，也是正方体的中心，

到平面的距离是体对角线的，即为，

又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为，

由勾股定理可知，截面圆的半径为，

圆锥底面面积为；

圆锥的母线即为球的半径，

圆锥的侧面积为；

因此圆锥的表面积为.

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB＝2AD＝2

（1）求证EAEC

（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，若EF＝1，求三棱锥E－ADF的体积

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：

（2）AB∥CD,∴AB∥面DCE.又∵面DCE∩面ABE＝EF,∴AB∥EF

在等腰梯形ABEF中，EF＝1,AF＝1,∠AFE＝120°

∴S＝×EF×AF×sin120°＝

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，过抛物线y=x2的焦点的直线交抛物线与圆x2+（y﹣2）2=4分别于A、D和B、C四点，则|AB|•|CD|=（　　）

D不能确定

正确答案

解析

采用特殊值法，令直线为，则，于是，选A.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 13 分

如图,三棱柱的侧棱底面,,是棱的中点,是的中点,,

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：取中点，连，

为中点，为中点，

，，

，且，

为平行四边形，，

平面，平面，

平面.

（2）解：底面，侧面底面，

又，垂直于交线，侧面

，，，

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

平面区域的周长为

正确答案

解析

画出图形，可得该区域图形为边长为的正方形，故其周长为.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

在等差数列中，，其前n项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前n项和。

正确答案

（1）an=2n-1

（2）Tn=

解析

（1），

即得，，

. (6分)

（2），

，

. (12分)

知识点

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