利用导数求函数的最值
共345题

· 利用导数求函数的最值

利用导数求函数的最值
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题型：简答题

简答题 · 14 分

若，其中。

（1）当时，求函数在区间上的最大值；

（2）当时，若，恒成立，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）当，时，，

∵，∴当时，，

∴函数在上单调递增，

故

（2）①当时，，，

，，∴f（x）在上增函数，

故当时，；

②当时，，，

（i）当即时，在区间上为增函数，

当时，，且此时；

（ii）当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

故当时，，且此时；

（iii）当，即时，在区间[1，e]上为减函数，

故当时，.

综上所述，函数的在上的最小值为

由得；由得无解；由得无解；

故所求的取值范围是。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知是有序数对集合上的一个映射，正整数对在映射下的象为实数，记作，对于任意的正整数，映射由下表给出：

则_________，使不等式成立的的集合是________。

正确答案

8；

解析

略

知识点

利用导数求函数的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

设一直角三角形的两条直角边长均是区间上的任意实数，则斜边长小于的概率为。

正确答案

解析

设两条直角边长为，

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的左右顶点分别为，离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意可得，， ∴

∴，

所以椭圆的方程为。

（2）曲线是以为圆心，半径为2的圆。

设，点的坐标为，

∵三点共线， ∴，

而，，则，

∴，

∴点的坐标为，点的坐标为，

∴直线的斜率为，

而，∴，

∴，

∴直线的方程为，化简得，

∴圆心到直线的距离，

所以直线与曲线相切。

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知函数对任意的恒有成立。

（1）记如果为奇函数，求b，c满足的条件

（2）当b=0时，记若在）上为增函数，求c的取值范围；

（3）证明：当时，成立；

正确答案

见解析

解析

（1）因为任意的恒有成立，

所以对任意的，即恒成立。

所以，从而.，即：。

设的定义域为，因为为奇函数，

所以对于任意，成立。解得。

所以。

（2）当时，记（）

因为在上为增函数，所以任取，时，

恒成立。

即任取，，成立，也就是成立。

所以，即的取值范围是。

（3）由（1）得，且，

所以，因此.

故当时，有.

即当时，

知识点

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