利用导数求函数的最值
共345题

· 利用导数求函数的最值

利用导数求函数的最值
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，

（1）若，试确定函数的单调区间；

（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）设函数，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）由得，所以。

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是，

（2）由可知是偶函数。

于是对任意成立等价于对任意成立。

由得。

①当时，，此时在上单调递增，故，符合题意；

②当时，。

当变化时，的变化情况如下表：

由此可得，在上，。

依题意，，又。

综合①②得，实数的取值范围是。

由此得，，

故，

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数单调递减。

（1）求a的值；

（2）是否存在实数b，使得函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（１）由函数

单调递减知。

，。

（２）函数的图象恰好有3个交点，等价于方程

。

是其中一个根，

故存在实数：满足题意。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

向量，，且∥，则

正确答案

解析

略

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为，记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）。

（1）写出与的函数关系式；

（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。

正确答案

见解析。

解析

(1)改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），

∴与的函数关系式为，

(2)由得，（舍）,

当时；当时，

∴函数在时取得最大值。

故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大，

知识点

函数模型的选择与应用利用导数求函数的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

若函数在上有最小值，则实数的取值范围是，

正确答案

解析

因为，令，得或；令，得或；令，得，可知函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，因为函数在上有最小值，又，从图象可以看出，需满足解得。

知识点

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