利用导数求函数的最值_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．

设函数f(x)=ax2－a－lnx，，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

正确答案

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.若函数f(x)=的定义域为R，则实数m的取值范围为。

正确答案

(－1，+∞)

解析

由m≠x－ex，设g(x)=x－ex，得g'(x)=1－ex，显然x<0时，g'(x)>0，此时函数g(x)递增；

x>0时，g'(x)<0，此时函数g(x)递减；

于是当x=0时，函数有最大值g(0)=－1，于是函数g(x)的值域为(－∞，－1].

欲使x∈R时，都有m≠x－ex，则m的取值范围为(－1，+∞).

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

21.设、是函数的两个极值点.

（1）若，求函数的解析式；

（2）若求实数的最大值；

（3）函数若求函数在内的最小值。（用表示）

正确答案

解：

（1）是函数的两个极值点，

由可得

（2）∵、是函数的两个极值点，

，

∴是方程的两根，

∵， ∴对一切恒成立，

而，，，

由

令

在（0，4）内是增函数；

∴h (a)在（4，6）内是减函数．

∴时，有极大值为，上的最大值是，

∴的最大值是

（3）∵x1、x2是方程的两根，

对称轴为，

，

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数解析式的求解及常用方法利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．

（1）计算|z|的值；

（2）是否存在实数a，使R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

正确答案

（1）|z|=5

（2）a=±5

解析

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知识点

利用导数求函数的最值

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知函数f(x)= -ln x(a0). （1）求函数f(x)的单调区间；（2）当a = l时，求f(x)在区间[,2]上的最大值和最小值(0.69<ln 2<0.70)；（3）求证ln ≤

正确答案

1）函数的定义域为，

若，

故，函数在区间上单调递减，

时，在区间上单调递增，在上单调递减所以单调递减区间为

（2）时，，

由（1）可知，在上单调递增，在区间[1,2]上单调递减，

所以在区间上的最大值为而

故函数在区间上的最小值为

（3）由（2）可知，函数在区间（0,1）上单调递增，

故有

解析

f(x)求导并整理，得到f(x)在x>0区间上单调递减，然后分类讨论a的不同取值对单调区间的影响。利用函数单调性证明不等式恒成立的条件。

考查方向

本题主要考查函数的单调性和函数的最值。

解题思路

本利用导数求单调区间，利用函数与不等式关系求最大值最小值

易错点

不会利用导数求函数单调区间。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知函数（）．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）0

（Ⅱ）

解析

试题分析：本题属于导数的应用的常规题型，难度较大。函数的单调性、最值、恒成立问题等等，都可利用导数加以解决。

（Ⅰ）的定义域为，

当时，,，

令，则；令，则，

所以在单调递减，单调递增．

所以．

（Ⅱ）（），

①时，，在单调递减，恒成立与已知相矛盾．

②当时，由得，

所以的单调减区间是，单调增区间是．

当，即时，在单调递增，恒成立；

当，即时，在单调递减，在单调递增，存在，与已知相矛盾．

综上，实数的取值范围是．

考查方向

本题主要考查函数的基本性质、恒成立问题、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．难度较大．

解题思路

本题主要考查函数的基本性质、恒成立问题、导数的应用等基础知识，

解题步骤如下：利用导数确定函数的单调性，进而求出最小值；把恒成立问题转化为最值问题解决。

易错点

第一问导数公式易记错；

第二问恒成立问题不会转化为最值问题解决。

知识点

利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对任意不相等的，恒有成立，求非负实数的取值范围.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)

(Ⅱ)

不妨设，又，

恒成立，等价于恒成立，即就是恒成立

令，则为单调递增函数

即就是恒成立

令

考查方向

函数的单调性，导数与函数的单调性，构造不等式

解题思路

求出函数的定义域，求导函数，判断单调区间，构造恰当的函数，结合不等式关系，求出参数的取值范围。

易错点

求导错误、对参数的分类讨论

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.已知函数，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a,b，则函数处取得最值的概率是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

考查方向

该题主要考察了导数的运算，考察了二次函数图像和性质，考察了古典概型的概率，该题多个知识交汇，属于中档题

易错点

主要体现在两个方面①题意理解错误处取得最值，理解为处取得最值，②满足条件的事件列举不全导致出错

知识点

导数的运算利用导数求函数的最值古典概型的概率

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21. 已知函数（a为实常数）.

（1）若上为单调增函数；

（2）若，求函数在上的最小值及相应的x值；

（3）设b=0，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

正确答案

（1）在上为单调增函数；

（2）；

（3）.

解析

试题分析：本题属利用导数求单调区间、最值及不等式恒成立问题，解析如下：

解：（1）时，，定义域为，

时，恒成立，

所以在上为单调增函数(Ⅱ)因为，

所以，，

(i) 若，在上非负（仅当时，），

故函数在上是增函数，

此时

(ii)若，,

当时，, 当时，，此时是减函数；

当时，，此时是增函数．

故

（3），不等式，即可化为．

因为, 所以且等号不能同时取，

所以，即，

因而（）令（），

又，

当时，，，

从而（仅当时取等号），

所以在上为增函数，故的最小值为，

所以实数的取值范围是

考查方向

本题考查了利用导数求单调区间、最值及不等式恒成立问题。

易错点

第二问忘记分类讨论导致出错。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知函数f(x)= -ln x(a0).

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）当a = l时，求f(x)在区间[,2]上的最大值和最小值(0.69<ln 2<0.70)；

（3）求证ln ≤

正确答案

（1）函数的定义域为，

若，又

故，函数在区间上单调递减，

时，在区间上单调递增，

在上单调递减所以单调递减区间为

（2）时，，

由（1）可知，在上单调递增，

在区间[1,2上单调递减，

所以在区间上的最大值为

而

故函数在区间上的最小值为

（3）由（2）可知，

函数在区间（0,1）上单调递增，

故有，

解析

将f(x)求导并整理，

得到f(x)在x>0区间上单调递减，

然后分类讨论a的不同取值对单调区间的影响。

利用函数单调性证明不等式恒成立的条件。

解题步骤见答案。

考查方向

本题主要考查函数的单调性和函数的最值。

解题思路

本利用导数求单调区间，利用函数与不等式关系求最大值最小值

易错点

不会利用导数求函数单调区间。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

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