利用导数求函数的最值_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20.设函数，，其中

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；

（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

正确答案

知识点

利用导数求函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.

(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

(Ⅱ) .

解析

试题分析：(Ⅰ)求导数

可得，

从而，

讨论当时，当时的两种情况即得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.

试题解析：(Ⅰ)由

可得，

则，

当时，

时，，函数单调递增；

当时，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减.

所以当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.

①当时，，单调递减.

所以当时，，单调递减.

当时，，单调递增.

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，

可得当当时，，时，，

所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意.

④当时，即，当时，，单调递增,

当时，，单调递减，

所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

考查方向

1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.若函数在单调递增,则a的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

考查方向

三角变换及导数的应用

解题思路

本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题.

易错点

与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.

知识点

利用导数求函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

设函数，．

25.求的单调区间和极值；

26.证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值.

解析

试题分析：（Ⅰ）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；

（Ⅰ）由，（）得

.

由解得.

与在区间上的情况如下：

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；

在处取得极小值.

考查方向

本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.

解题思路

利用导数求函数的单调性与极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．

易错点

单调区间的判断

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）略.

解析

试题分析：（Ⅱ）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.

因为存在零点，所以，从而.

当时，在区间上单调递减，且，

所以是在区间上的唯一零点.

当时，在区间上单调递减，且，，

所以在区间上仅有一个零点.

综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

考查方向

本题主要考查函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.

解题思路

证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．

易错点

零点个数的确定

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x＋）＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为____________.

正确答案

8

解析

由图像得，当时，求得，当时，，故答案为8.

考查方向

本题考查三角函数的图像和性质.

解题思路

在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题时，取得最小值，继而求得的值，当时，取得最大值.

易错点

注意运算的准确性.

知识点

利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.函数的最大值为_________.

正确答案

2

知识点

利用导数求函数的最值

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.

正确答案

知识点

利用导数求函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.设 .

（I）求得单调递增区间；

（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.

正确答案

知识点

利用导数求函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知R，函数=.

（1）当时，解不等式>1；

（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；

（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

正确答案

知识点

利用导数求函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知.

25.讨论的单调性；

26.当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减.

解析

试题分析：由,可分,两种情况来讨论.

（I）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.

考查方向

本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，属于中档题．

解题思路

本题是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；

易错点

求导时导数符号正负确定的讨论及判断

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：由25题知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.

由25题知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为

因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.

考查方向

本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．

解题思路

本题是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.

易错点

构造新函数的单调性与是给函数单调性之间的对应关系.

热门试卷

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

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考查方向

解题思路

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考查方向

解题思路

易错点