利用导数求函数的最值
共345题

· 利用导数求函数的最值

利用导数求函数的最值
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题型：单选题

单选题 · 5 分

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

C10

D12

正确答案

解析

该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积就是长方体的体积，体积为。

知识点

利用导数求函数的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

记直线：（）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，则 .

正确答案

解析

略

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；

（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）当a=1时，，

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，

最小值为，

要使∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故实数m的取值范围是

（2）已知函数。

若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，

等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即恒成立。

设。

即g（x）的最大值小于0.

（1）当时，，

∴为减函数。

∴g（1）=﹣a﹣≤0

∴a≥﹣

∴

（2）a≥1时，。

为增函数，

g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件。

（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，

同样最大值可无穷大，不满足题意，综上，实数a的取值范围是。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）求函数的最大值；

（2）求函数在区间上的零点的个数（为自然对数的底数）；

（3）设函数图象上任意不同的两点为、，线段的中点为，记直线的斜率为，证明：。

正确答案

见解析。

解析

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

则下列判断正确的是

A甲射击的平均成绩比乙好

B乙射击的平均成绩比甲好

C甲比乙的射击成绩稳定

D乙比甲的射击成绩稳定

正确答案

解析

略

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数的图象过点.

（1）求的值；

（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）=

解析

（1）。 ……3分

由已知点在函数的图象上，所以，

. ………5分

（2）因为，

所以=2，

所以，即. ………7分

因为，所以，所以， ………8分

又因为，所以，.………10分

所以，， ………11分

所以=.………13分

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数.

（1）已知曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有。

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为, . ………1分

. ………2分

根据题意，，

所以，即，

解得..………4分

（2）.

1）当时，因为，所以，，

所以，函数在上单调递减. ………6分

2）当时，

若，则，，函数在上单调递减；

若，则，，函数在上单调递增. …8分

综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.………9分

（3）由（1）可知.

设，即.

. ………10分

当变化时，，的变化情况如下表：

是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.

可见，.………13分

所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有. ………14分

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是：

正确答案

解析

略

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数，其中是自然对数的底，为实数。

（1）若，求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

解：

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数f（x）=x2+x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上。

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn；

（3）令cn=+，证明：2n＜c1+c2+…+cn＜2n+。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，

∴，

∴当n=1时，；

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=。

当n=1时，也适合上式，

因此。

（2）由（1）可得：=。

∴Tn=，

，

两式相减得=1+=3

∴。

（3）证明：由cn==+＞2=2，

∴c1+c2+…+cn＞2n。

又cn=+=2+﹣，

∴c1+c2+…+cn=2n+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2n+﹣＜2n+。

∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+成立。

知识点

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