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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为不小于)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于,绕岛行驶的路宽均不小于

.

(1)求的取值范围;(运算中

(2)若中间草地的造价为,四个花坛的造价为,其余区域的造价为,当取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意得,        

解得.     

(2)记“环岛”的整体造价为元,则由题意得

,      

,则

,解得,            …………12分

列表如下:

所以当取最小值。

答:当m时,可使“环岛”的整体造价最低.       

知识点

利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

在平面直角坐标系中,已知椭圆)的左、右焦点分别为焦距为,一条准线方程为为椭圆上一点,直线交椭圆于另一点

(1)求椭圆的方程;

(2)若点的坐标为,求过三点的圆的方程;

(3)若,且,求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

由题意得解得c=1,a2=2,所以b2=a2-c2=1。

所以椭圆的方程为。            

(2)因为P(0,1),F1(-1,0),所以PF1的方程为x-y+1=0。

解得或所以点Q的坐标为

解法一:因为kPF·kPF=-1,所以△PQF2为直角三角形。    

因为QF2的中点为,QF2

所以圆的方程为。         

解法二:设过P,Q,F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

   解得

所以圆的方程为。         

(3)解法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

所以解得。    

所以

因为,所以 ,当且仅当,即λ=1时,取等号。

所以,即最大值为。        

解法二:当PQ斜率不存在时,

中,令x=-1得

所以,此时 

当PQ斜率存在时,设为k,则PQ的方程是y=k(x+1),

得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

韦达定理    

设P(x1,y1),Q(x2,y2) ,

的最大值为,此时

知识点

利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式)。已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元,(该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额)

(1)将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数;

(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意可知,

  

(2)考虑函数

时,,函数上单调减。

所以当时,取得极大值,也是最大值,

是整数,,所以当时,有最大值

时,,所以函数上单调减,

所以当时,取得极大值,也是最大值。

由于,所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大。

答:当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大日利润是千元。

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数模型的选择与应用利用导数求函数的最值
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

如图,在一不规则区域内,有一边长为1米的正方形,向区域内随机地撒1 000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗,以此实验数据为依据,可以估计出该不规则图形的面积为________平方米。

正确答案

解析

设该不规则图形的面积为平方米,向区域内随机地撒1 000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗,所以根据几何概型的概率计算公式可知,解得

知识点

利用导数求函数的最值
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意实数满足

考察下列结论:①;②为偶函数;③数列为等比数列;④数列为等差数列。其中正确的结论是

A①②③

B②③④

C①②④

D①③④

正确答案

D

解析

∵f(0)=f(0•0)=0,f(1)=f(1•1)=2f(1),∴f(1)=0,①正确;

f(1)=f[(-1)•(-1)]=-2f(-1),∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),

故f(x)不是偶函数,故②错;则f(2n)=f(2•2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n

∴bn=bn-1+1,∴{bn}是等差数列,④正确;b1═1,bn=1+(n-1)×1=n,f(2n)=2nbn=n2n,an═2n,故数列{an}是等比数列,③正确。故答案为:①③④

知识点

利用导数求函数的最值
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