- 利用导数求函数的最值
- 共345题
已知角的顶点在原点,始边与
轴的正半轴重合,终边经过点
.
(1)求的值;
(2)若函数,
求函数在区间
上的取值范围,
正确答案
见解析。
解析
(1)因为角终边经过点
,所以
,
,
------------3分
---------6分
(2) ,
--------8分
----10分
,
故:函数在区间
上的取值范围是
-------12分
知识点
国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费,每一年度申请总额不超过6000元,某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款,并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清, 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元,第13个月开始,每月工资比前一个月增加5%直到4000元,李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元,第13个月开始,每月还款额比前一月多x元。
(1)若李顺恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款,求x的值;
(2)当x=50时,李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他还清贷款的那一个月的工资余额是多少?
(参考数据:1.0518 =2.406,1.0519=2.526,1.0520 =2.653,1.0521=2.786)
正确答案
(1)20元(2)3399元
解析
(2)设李顺第
个月还清,则应有
整理可得,解之得
,取
,
即李顺工作个月就可以还清贷款。
这个月,李顺的还款额为
元,
第31个月李顺的工资为元,
因此,李顺的剩余工资为。
知识点
甲、乙两地相距1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过80km/h,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的倍,固定成本为a元。
(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?
正确答案
见解析。
解析
(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,
全程运输成本为y=,即y=1000(
),定义域为(0,80],
(2)依题意知a,v都为正数,故有1000()≥1000
,当且仅当
,即v=2
时,等号成立,
①若2≤80,即0<a≤1600时,则当v=2
时,时,全程运输成本y最小。
②若2>80,即a>1600时,则当v∈(0,80]时,有y′=1000(
)<0。
∴函数在v∈(0,80]上单调递减,也即当v=80时,全程运输成本y最小,
综上知,为使全程运输成本y最小,当0<a≤1600时行驶速度应为v=2时千米/时;当a>1600时行驶速度应为v=80千米/时。
知识点
在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短半轴长为2,椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,且。
①求证:原点O到直线AB的距离为定值;
②求AB的最小值。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意,可设椭圆C的方程为,焦距为2c,离心率为e。
于是。
设椭圆的右焦点为F,椭圆上点P到右准线距离为,
则,于是当d最小即P为右顶点时,PF取得最小值,
所以。
因为
所以椭圆方程为。
(2)①设原点到直线
的距离为h,则由题设及面积公式知
。
当直线的斜率不存在或斜率为
时,
或
于是。
当直线的斜率
存在且不为
时,则
,
解得 同理
在Rt△OAB中,,
则
,所以
。
综上,原点到直线
的距离为定值
。
另解:
,所以
。
②因为h为定值,于是求的最小值即求
的最小值。
,
令,则
,
于是,
因为,所以
,
当且仅当,即
,
取得最小值
,因而
所以的最小值为
。
知识点
某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:①原材料费每件50元;②职工工资支出元;③电力与机器保养等费用为
元.其中
是该厂生产这种产品的总件数。
(1)把每件产品的成本费(元)表示成产品件数
的函数,并求每件产品的最低成本费;
(2)如果该厂生产的这种产品的数量不超过170件且能全部销售,根据市场调查,每件产品的销售价为
(元),且
,试问生产多少件产品,总利润最高?并求出最高总利润。(总利润=总销售额-总的成本)
正确答案
见解析
解析
(1),
由基本不等式得:
当且仅当,即
时等号成立,
所以,
,每件产品的最低成本费为220元
(2)设总利润元,则
所以
=
当时,
,当
时,
,
所以在[1,100]上是增函数,在[100,170]上是减函数,
所以生产100件产品时,总利润最高,且最高利润为元。
知识点
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