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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.

(1)求的值;

(2)若函数

求函数在区间上的取值范围,

正确答案

见解析。

解析

(1)因为角终边经过点,所以

   ------------3分

---------6分

(2)  ,--------8分

----10分

故:函数在区间上的取值范围是-------12分

知识点

利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费,每一年度申请总额不超过6000元,某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款,并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清, 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元,第13个月开始,每月工资比前一个月增加5%直到4000元,李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元,第13个月开始,每月还款额比前一月多x元。

(1)若李顺恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款,求x的值;

(2)当x=50时,李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他还清贷款的那一个月的工资余额是多少?

(参考数据:1.0518 =2.406,1.0519=2.526,1.0520 =2.653,1.0521=2.786)

正确答案

(1)20元(2)3399元

解析

(2)设李顺第个月还清,则应有

整理可得,解之得,取

即李顺工作个月就可以还清贷款。

这个月,李顺的还款额为

元,

第31个月李顺的工资为元,

因此,李顺的剩余工资为

知识点

利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

甲、乙两地相距1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过80km/h,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的倍,固定成本为a元。

(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?

正确答案

见解析。

解析

(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

全程运输成本为y=,即y=1000(),定义域为(0,80],

(2)依题意知a,v都为正数,故有1000()≥1000,当且仅当,即v=2时,等号成立,

①若2≤80,即0<a≤1600时,则当v=2时,时,全程运输成本y最小。

②若2>80,即a>1600时,则当v∈(0,80]时,有y′=1000()<0。

∴函数在v∈(0,80]上单调递减,也即当v=80时,全程运输成本y最小,

综上知,为使全程运输成本y最小,当0<a≤1600时行驶速度应为v=2时千米/时;当a>1600时行驶速度应为v=80千米/时。

知识点

函数模型的选择与应用利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短半轴长为2,椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,且

①求证:原点O到直线AB的距离为定值;

②求AB的最小值。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意,可设椭圆C的方程为,焦距为2c,离心率为e。

于是

设椭圆的右焦点为F,椭圆上点P到右准线距离为

,于是当d最小即P为右顶点时,PF取得最小值,

所以

因为

所以椭圆方程为

(2)①设原点到直线的距离为h,则由题设及面积公式知

当直线的斜率不存在或斜率为时,

于是

当直线的斜率存在且不为时,则

解得   同理

在Rt△OAB中,

,所以

综上,原点到直线的距离为定值

另解:

,所以

②因为h为定值,于是求的最小值即求的最小值。

,则

于是

因为,所以

当且仅当,即取得最小值,因而

所以的最小值为

知识点

利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:①原材料费每件50元;②职工工资支出元;③电力与机器保养等费用为元.其中是该厂生产这种产品的总件数。

(1)把每件产品的成本费(元)表示成产品件数的函数,并求每件产品的最低成本费;

(2)如果该厂生产的这种产品的数量不超过170件且能全部销售,根据市场调查,每件产品的销售价为(元),且,试问生产多少件产品,总利润最高?并求出最高总利润。(总利润=总销售额-总的成本)

正确答案

见解析

解析

(1) 

由基本不等式得:

当且仅当,即时等号成立,

所以,每件产品的最低成本费为220元

(2)设总利润元,则

所以

=    

时,,当时,

所以在[1,100]上是增函数,在[100,170]上是减函数, 

所以生产100件产品时,总利润最高,且最高利润为元。

知识点

利用导数求函数的最值
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