- 利用导数求函数的最值
- 共345题
设函数f(x)=ax2+ex(a∈R)有且仅有两个极值点x1,x2(x1<x2)。
(1)求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a满足f(x1)=ex1?如存在,求f(x)的极大值;如不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)f′(x)=2ax+ex。
显然a≠0,x1,x2是直线y=与曲线y=g(x)=
两交点的横坐标
由g′(x)==0,得x=1.列表:
此外注意到:
当x<0时,g(x)<0;
当x∈[0,1]及x∈(1,+∞)时,g(x)的取值范围分别为[0,]和(0,
)。
于是题设等价于0<<
⇒
,故实数a的取值范围为(﹣∞,﹣
)
(2)存在实数a满足题设,证明如下:
由(1)知,0<x1<1<x2,f′(x1)=2ax1+=0,
故f(x1)==
=e
x1,故
=0
记R(x)=(0<x<1),则
<0,
于是,R(x)在(0,1)上单调递减。
又R()=0,故R(x)有唯一的零点x=
。
从而,满足f(x1)=ex的x1=
,所以,a=
,
此时f(x)=,
,
又f′(0)>0,f′(1)<0,f′(2)>0,而x1=∈(0,1),
故当a=时,f(x)极大=f(x1)=
。
知识点
若函数,x∈R,又
,
,且
的最小值为
,则正数ω的值为( )
正确答案
解析
因为,|x1-x2|的最小值为
,故
,所以ω=
.
知识点
在等腰梯形中,
分别是底边
的中点,把四边形
沿直线
折起,所在的平面为
,且
平面
,
,设
与
所成的角分别为
均不为0
,若
,则点
的轨迹为( )
正确答案
解析
如图,连接
易知,
由,可得
,故
定值,且此定值不为1,
故点的轨迹为圆。(到两定点的比为不为1定值的点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆)
知识点
已知函数f(x)=lnx﹣x,。
(1)求h(x)的最大值;
(2)若关于x的不等式xf(x)≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解,其中e是自然对数的底数,求实数b的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为,所以
,
由h′(x)>0,且x>0,得0<x<e,由h′(x)<0,且x>0,x>e,
所以函数h(x)的单调增区间是(0,e],单调减区间是[e,+∞),
所以当x=e时,h(x)取得最大值;
(2)因为xf(x)≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈(0,+∞)恒成立,
即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈(0,+∞)恒成立,
亦即对一切x∈(0,+∞)恒成立,
设,因为
,
故ϕ(x)在(0,3]上递减,在[3,+∞)上递增,ϕ(x)min=ϕ(3)=7+ln3,
所以a≤7+ln3.
(3)因为方程f(x)﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解,
即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解,即恰有一解,
由(1)知,h(x)在x=e时,,
而函数k(x)=x2﹣2ex+b+1在(0,e]上单调递减,在[e,+∞)上单调递增,
故x=e时,k(x)min=b+1﹣e2,
故方程=x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2=
,
即b=e2+﹣1;
知识点
某观察站在城
的南偏西
的方向,由
出发的一条公路的走向是南偏东
,现在
处测得此公路上距
处30
的
处有一人正沿此公路骑车以
的速度向
城驶去,行驶了15分钟后到达
处,此时测得
与
之间的距离为
,问这人还需要多长时间才能到达
城?
正确答案
见解析
解析
由题意可知, ----------2分
-------4分
--------6分
--------8分
在中,由正弦定理得,
---------10分
----------12分
这人还需要
小时即48分钟到达A城。 ----------13分
知识点
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