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题型:简答题
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简答题 · 16 分

设函数f(x)=ax2+ex(a∈R)有且仅有两个极值点x1,x2(x1<x2)。

(1)求实数a的取值范围;

(2)是否存在实数a满足f(x1)=ex1?如存在,求f(x)的极大值;如不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)f′(x)=2ax+ex

显然a≠0,x1,x2是直线y=与曲线y=g(x)=两交点的横坐标

由g′(x)==0,得x=1.列表:

此外注意到:

当x<0时,g(x)<0;

当x∈[0,1]及x∈(1,+∞)时,g(x)的取值范围分别为[0,]和(0,)。

于是题设等价于0<,故实数a的取值范围为(﹣∞,﹣

(2)存在实数a满足题设,证明如下:

由(1)知,0<x1<1<x2,f′(x1)=2ax1+=0,

故f(x1)===ex1,故=0

记R(x)=(0<x<1),则<0,

于是,R(x)在(0,1)上单调递减。

又R()=0,故R(x)有唯一的零点x=

从而,满足f(x1)=ex的x1=,所以,a=

此时f(x)=

又f′(0)>0,f′(1)<0,f′(2)>0,而x1=∈(0,1),

故当a=时,f(x)极大=f(x1)=

知识点

利用导数求函数的最值
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若函数,x∈R,又,且的最小值为,则正数ω的值为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为,|x1-x2|的最小值为,故,所以ω=.

知识点

利用导数求函数的最值
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在等腰梯形中,分别是底边的中点,把四边形沿直线折起,所在的平面为,且平面,设所成的角分别为均不为0,若,则点的轨迹为(     )

A直线

B

C椭圆

D抛物线

正确答案

B

解析

如图,连接

易知

,可得,故

定值,且此定值不为1,

点的轨迹为圆。(到两定点的比为不为1定值的点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆)

知识点

利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知函数f(x)=lnx﹣x,

(1)求h(x)的最大值;

(2)若关于x的不等式xf(x)≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;

(3)若关于x的方程f(x)﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解,其中e是自然对数的底数,求实数b的值。

正确答案

见解析。

解析

(1)因为,所以

由h′(x)>0,且x>0,得0<x<e,由h′(x)<0,且x>0,x>e,

所以函数h(x)的单调增区间是(0,e],单调减区间是[e,+∞),

所以当x=e时,h(x)取得最大值

(2)因为xf(x)≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈(0,+∞)恒成立,

即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈(0,+∞)恒成立,

亦即对一切x∈(0,+∞)恒成立,

,因为

故ϕ(x)在(0,3]上递减,在[3,+∞)上递增,ϕ(x)min=ϕ(3)=7+ln3,

所以a≤7+ln3. 

(3)因为方程f(x)﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解,

即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解,即恰有一解,

由(1)知,h(x)在x=e时,

而函数k(x)=x2﹣2ex+b+1在(0,e]上单调递减,在[e,+∞)上单调递增,

故x=e时,k(x)min=b+1﹣e2

故方程=x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2=

即b=e2+﹣1;

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

某观察站在城的南偏西的方向,由出发的一条公路的走向是南偏东,现在处测得此公路上距处30处有一人正沿此公路骑车以的速度向城驶去,行驶了15分钟后到达处,此时测得之间的距离为,问这人还需要多长时间才能到达城?

正确答案

见解析

解析

由题意可知,        ----------2分

     -------4分

    --------6分

      --------8分

中,由正弦定理得,

            ---------10分

         ----------12分

这人还需要小时即48分钟到达A城。    ----------13分

知识点

利用导数求函数的最值
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