热门试卷

（1）f′（x）=2ax+ex。

显然a≠0，x1，x2是直线y=与曲线y=g（x）=两交点的横坐标

由g′（x）==0，得x=1.列表：

此外注意到：

当x＜0时，g（x）＜0；

当x∈[0，1]及x∈（1，+∞）时，g（x）的取值范围分别为[0，]和（0，）。

于是题设等价于0＜＜⇒，故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣）

（2）存在实数a满足题设，证明如下：

由（1）知，0＜x1＜1＜x2，f′（x1）=2ax1+=0，

故f（x1）===ex1，故=0

记R（x）=（0＜x＜1），则＜0，

于是，R（x）在（0，1）上单调递减。

又R（）=0，故R（x）有唯一的零点x=。

从而，满足f（x1）=ex的x1=，所以，a=，

此时f（x）=，，

又f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，而x1=∈（0，1），

故当a=时，f（x）极大=f（x1）=。

（1）因为，所以，

由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，

所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），

所以当x=e时，h（x）取得最大值；

（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，

即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，

亦即对一切x∈（0，+∞）恒成立，

设，因为，

故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，

所以a≤7+ln3. 

（3）因为方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，

即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即恰有一解，

由（1）知，h（x）在x=e时，，

而函数k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，

故x=e时，k（x）min=b+1﹣e2，

故方程=x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2=，

即b=e2+﹣1；