极坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）选修4-2：矩阵与变换

变换T1是逆时针旋转90°的旋转变换，对应的变换矩阵为M1，变换T2对应的变换矩阵是M2=；

（I）求点P（2，1）在T1作用下的点Q的坐标；

（II）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得的曲线方程．

（2）选修4-4：极坐标系与参数方程

从极点O作一直线与直线l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一点P，使得OM•OP=12．

（Ⅰ）求动点P的极坐标方程；

（Ⅱ）设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．

（3）选修4-5：不等式选讲

已知f（x）=|6x+a|．

（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集为{x|x≥或x≤-}，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x-1）＞b对一切实数x恒成立，求实数b的取值范围．

正确答案

（1）（Ⅰ）M1= ，M1 =，点P（2，1）在T1作用下的点Q的坐标为（-1，2）．…4分

（II）设变换为M，则M=M2M1=，设（x，y）是变换后曲线上的任意一点，与之对应的变换前的点是（x0，y0），

则有 =，∴x=x0-y0，x0=y．

又y0=x02，∴y-x=y2．

（2）（Ⅰ）设动点P的极坐标（ρ，θ），点M的极坐标为（ρ0，θ0），则ρρ0=12．

又ρ0cosθ=4，∴ρ=3cosθ （扣除极点）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，动点P的轨迹是以（1.5，0）为圆心，以1.5为半径的圆，故RP的最小值为1．

（3）由|6x+a|≥4 解得x≥，或 x≤，∴=，=-，

解得 a=1．此时，f（x）=|6x+1|，f（x+1）=|6x+7|，f（x-1）=|6x-5|．

f（x）+f（x-1）=|6x+7|+|6x-5|≥|（6x+7）-（6x-5）|=12，故b＜12．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，取原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ，直线C2的参数方程为：（t为参数）

（I ）求曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的普通方程．

（II）先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线C3，P为曲线C3上一动点，求点P到直线C2的距离的最小值，并求出相应的P点的坐标．

正确答案

（I ）C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ，即：ρ2=2ρcosθ，

化为直角坐标方程为x2+y2=2x，即为（x-1）2+y2=1

直线C2的参数方程为：（t为参数），

消去t得普通方程为x-y+4=0

（II）曲线C3上的方程为+y2=1

设点P（cosθ，sinθ），点P到直线的距离为d==

由三角函数的性质知，当θ+=π是，d取得最小值，此时θ=，

所以P点的坐标为（-，）

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题型：简答题

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简答题

平面直角坐标系中，将曲线（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C2的方程为ρ=4sinθ，求C1和C2公共弦的长度．

正确答案

曲线（α为参数）上的每一点纵坐标不变，

横坐标变为原来的一半得到，然后整个图象向右平移1个单位得到，

最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到，所以，C1为；（x-1）2+y2=4，

又C2为ρ=4sinθ，即x2+y2=4y，所以，C1和C2公共弦所在直线为2x-4y+3=0，

所以，（1，0）到2x-4y+3=0距离为，所以，公共弦长为2=．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，曲线ρ=2sinθ所围成的平面图形的面积为______．

正确答案

将原极坐标方程为p=2sinθ，化成：

p2=2ρsinθ，其直角坐标方程为：

∴x2+y2=2y，是一个半径为1的圆，其面积为π．

故答案为：π．

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题型：填空题

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填空题

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合，则由曲线C1：ρcos2θ=2sinθ和C2：（t为参数）围成的平面图形的面积是______．

正确答案

设曲线C1上任一点的直角坐标为P（x，y），则由

由ρcos2θ=2sinθ得到ρ2cos2θ=2ρsinθ

∴x2=2y，即y=x2

由C2得y=x+4，由得A（-2，2）B（4，8）

∴所求面积S=∫-24（x+4-x2）dx=[-x3+x2+4x]|-24=18

故答案为18

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题型：填空题

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填空题

（1）极坐标方程分别为ρ=2cosθ的圆与参数方程为的直线位置关系是______

（2）一个等腰三角形ABC的底边AC的长为6，△ABC的外接圆的半径长为5，则△ABC的面积是______．

正确答案

（1）圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1

化为普通方程为：x-y+1=0

圆心到直线的距离为：=

∵＞1

∴直线与圆相离

故答案为：相离．

（2）因为等腰三角形ABC的底边AC的长为6，△ABC的外接圆的半径长为5

∴当角B是锐角时，根据外接圆的性质知圆心o到AC边的中点的距离是=4

∴底边上的高是4+5=9，

∴三角形的面积是×6×9=27

当角B是钝角时，OA=5，OC=5

根据勾股定理知O到底边的距离是4，

∴三角形底边上的高是1，

∴三角形的面积是×6×1=3

综上可知三角形的面积是3或27

故答案为：3或27

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题型：简答题

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简答题

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线l：（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为 ρcos2θ=2sinθ

（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：•=0．

正确答案

（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t得普通方程为 y=2x+2．

由曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程为 x2=2y．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得 x2-4x-4=0，

∴x1+x2=4，x1•x2=-4，∴y1y2=•=4，∴•=x1x2+y1y2=0．

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题型：填空题

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填空题

已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+)=，则极点到该直线的距离是 ______．

正确答案

将原极坐标方程ρsin(θ+)=，化为：

ρsinθ+ρcosθ=1，

化成直角坐标方程为：x+y-1=0，

则极点到该直线的距离是=．

故填；．

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题型：简答题

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简答题

本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（Ⅰ）直线l1：x=-4先经过矩阵A=作用，再经过矩阵B=作用，变为直线l2：2x-y=4，求矩阵A．

（Ⅱ）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：p=2sin（θ+）．判断直线l和圆C的位置关系．

（Ⅲ）解不等式：|x|+2|x-1|≤4．

正确答案

（Ⅰ）根据题意可得：直线l1经矩阵BA所对应的变换可直接得到直线l2

BA=• =，得l1变换到l2的变换公式，

则由l2：2x-y=4得到直线2[（4+n）x+（m-4）y]-[-nx+4y]-4=0，即（3n+8）x-（2m-12）y-4=0

即直线l1：x=-4，比较系数得m=6，n=-3，

此时矩阵A=

（II）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，

ρ=2 sin（θ+），即ρ=2（sinθ+cosθ），

两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），

得⊙C的直角坐标方程为（x-1）2+（x-1）2=2；

圆心C到直线l的距离d==＜，

所以直线l和⊙C相交．

（III）根据题意，对x分3种情况讨论：

①当x＜0时，原不等式可化为-3x+2≤4，

解得-≤x＜0，

②当0≤x≤1时，原不等式可化为2-x≤4，即x≥-2

解得0≤x≤1，

③当x≥1时，原不等式可化为3x-2≤4，

解得 1＜x≤2．

综上，原不等式的解集为{x|-≤x≤2}．

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题型：简答题

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简答题

本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知矩阵M=，N=，且MN=，

（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，

求|PA|+|PB|．

（3）已知函数f（x）=|x-a|．

（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）选修1：（Ⅰ）由题设得，解得；

（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），

由=，=，

得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（-2，2），

从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．

（2）选修2：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2-2y=0，即x2+(y-)2=5．

（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3-t)2+(t)2=5，

即t2-3t+4=0，

由于△=(3)2-4×4=2＞0，

故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以，

又直线l过点P（3，），

故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．

（3）选修3：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，

又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，

所以，解得a=2．

（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，

设g（x）=f（x）+f（x+5），

于是g（x）=|x-2|+|x+3|=，

所以，当x＜-3时，g（x）＞5；

当-3≤x≤2时，g（x）＞5；

当x＞2时，g（x）＞5．

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