极坐标系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（l为参数），以Ox的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则圆C上的点到直线l距离的最大值是______．

正确答案

直线l的参数方程是（l为参数），消去参数t得普通方程：y=x．

∵圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，

∴x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1，

∴圆心C（1，0），半径r=1．

∴由点到直线的距离公式得：圆心C（1，0）到直线的距离d==．

∴圆C上的点到直线l距离的最大值是+1．

故答案为+1．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）

曲线ρ=4cosθ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为______．

正确答案

将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：

ρ2=4ρcosθ，

化成直角坐标方程为：x2+y2-4x=0，

它关于直线y=x（即θ=）对称的圆的方程是

x2+y2-4y=0，其极坐标方程为：ρ=4sinθ．

故答案为：ρ=4sinθ．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）曲线(α为参数）与曲线ρ2-2ρcosθ=0的交点个数为______．

正确答案

曲线(α为参数）的普通方程为 x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心、半径等于1的圆．

曲线ρ2-2ρcosθ=0即x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆．

两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，

故两曲线的交点个数为2，

故答案为2．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，圆ρ=2cos(θ+)上的点与直线ρsin(θ+)=上的点的最大距离是______．

正确答案

圆ρ=2cos(θ+) 即 ρ=-2sinθ，即 ρ2=-2ρsinθ，即 x2+y2=-2y，

x2+（y+1）2=1，表示以C（0，-1）为圆心，以1为半径的圆．

直线ρsin(θ+)=即 ρcosθ+ρsinθ=，即x+y=，

即 x+y-2=0．

圆心C（0，-1）到直线x+y-2=0的距离等于 =，

故圆上的点到直线x+y-2=0的距离的最大值为+r=+1．

故答案为 +1．

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题型：简答题

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简答题

已知圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且与直线3x-4y+c=0相切的圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ，则c=______．

正确答案

∵圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，∴圆心C（1，0）．

再由圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ可得半径等于1，故圆的方程为（x-1）2+y2=1．

再由圆与直线3x-4y+c=0相切可得 =1．

解得c=2，或c=-8，

故答案为-8或2．

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题型：填空题

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填空题

点P为曲线ρ=10sinθ上任一点，点Q为曲线ρsinθ=10上任一点，则P、Q两点间距离最小值为______．

正确答案

∵曲线ρsinθ=10和ρ=10sinθ分别为：

y=10和x2+y2=10y，

即直线y=10和圆心在（0，5）半径为5的圆．

直线y=10和圆心在（0，5）半径为5的圆相切，

显然P、Q两点间距离最小值为0．

故答案为：0．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2

（Ⅰ）求C2的方程

（Ⅱ）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

正确答案

（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，

所以即

从而C2的参数方程为

（α为参数）

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．

射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，

射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．

所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2．

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题型：简答题

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简答题

极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-1=0的直线L与x轴的交点为P，与曲线C（θ为参数）交于A，B．

（Ⅰ）写出曲线C和直线L的直角坐标方程；

（Ⅱ）求|PA|•|PB|．

正确答案

（Ⅰ）由直线L的极坐标方程ρcosθ-ρsinθ-1=0可化为x-y-1=0；

由曲线C（θ为参数）利用sin2θ+cos2θ=1消去参数θ可得+y2=1．

（Ⅱ）直线L与x轴交于（1，0），直线的斜率为1，

∴直线的参数方程为（t为参数），①

椭圆的普通方程为：+y2=1，②

①代入②得：5t2+2t-6=0，③

∵△=128＞0，根据直线参数方程的几何意义知|PA|•|PB|=|t1•t2|=．

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题型：简答题

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简答题

已知：直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

正确答案

（1）由曲线C：ρ2cos2θ=ρ2（cos2θ-sin2θ）=1，

得ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1，化成普通方程x2-y2=1．①（5分）

（2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程(t为参数)，②

把②代入①得：(2+t)2-(t)2=1，整理，得t2-4t-6=0，

设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1•t2=-6，．（8分）

从而弦长为|t1-t2|====2．．（10分）

（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为y=(x-2)，代入x2-y2=1，得2x2-12x+13=0，．（6分）

设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1•x2=，．（8分）

∴|AB|=•=2=2．．（10分）

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线的极坐标方程为ρ=，则此抛物线的准线极坐标方程为______．

正确答案

由ρ=，得ρ-ρcosθ=4，即-x=4，

化简得y2=8x+16，其准线方程为x=-4，

所以准线的极坐标方程为ρcosθ=-4，

故答案为：ρcosθ=-4．

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