极坐标系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点M（2，）到直线l：ρsin（θ+）=的距离为______．

正确答案

点M（2，）的直角坐标为（1，），

直线l：ρsin（θ+）= 的直角坐标方程为x+y-1=0，

∴点M到直线l的距离d==，

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示）

正确答案

∵ρ（2cosθ+sinθ）=2，ρcosθ=1

∴2x+y-2=0与x=1

∴2x+y-2=0与x=1夹角的正切值为

直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan

故答案为：arctan

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，直线C1：ρcosθ-ρsinθ=1与直线C2：ρsinθ-2ρcosθ=1的夹角大小为______．（用反三角表示）

正确答案

∵直线C1：ρcosθ-ρsinθ=1和直线C2：ρsinθ-2ρcosθ=1，

∴x-y-1=0与2x-y+1=0，它们的斜率分别为：1和2

∴x-y-1=0与2x-y+1=0夹角α的正切值为tanα=||=，

∴cosα=，

∴直线C1与直线C2的夹角大小为arccos．

故答案为：arccos．

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题型：简答题

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简答题

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（α为参数），点Q的极坐标为（2，π）．

（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l过点Q且与圆C交于M，N两点，求当|MN|最小时，直线l的直角坐标方程．

正确答案

（I）圆C的直角坐标方程为：x2+y2-2x+2y-2=0．

又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．

∴圆C的极坐标方程可化为：ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，

（II）∵点Q的极坐标为（2，π）．

∴点Q的直角坐标为（2，-2），其在圆C内．

从而当l⊥CQ时，|MN|最小，又圆心C（1，-1），

∴kCQ==-1，

∴kl=1，

所以直线L的方程为：y+2=x-2．即x-y-4=0．

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题型：填空题

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填空题

直线ρcosθ-ρsinθ=0的倾斜角是______．

正确答案

将原极坐标方程ρcosθ-ρsinθ=0，化成直角坐标方程为：x-y=0，

直线 x-y=0的斜率为 1，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=1，且 0≤θ＜π，

∴θ=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（φ为参数），曲线C2的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．

（I）求|AB|的值；

（Ⅱ）求点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

正确答案

（I）曲线C1的方程为（φ为参数）的普通方程为y=x2，

曲线C2的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，的直角坐标方程为：x+y-1=0，

把直线 x+y-1代入y=x2，

得x2+x-1=0，∴x1=，x2=，

∴x1+x2=-1．x1x2=-1，

∴|AB|===．

（II）由（I）得A，B两点的坐标分别为A（，），B（，），

∴|MA|2=（）2+（）2，|MB|2=（）2+（）2，

则点M到A，B两点的距离之积为|MA|•|MB|=2××=2．

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：ρsin(θ-)=2和圆C：ρ=2cos(θ+)，求圆心C到直线l的距离．

正确答案

∵ρ=cosθ-sinθ

∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ

∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0（3分）

∴圆心的直角坐标为(，-)（4分）

∵ρsinθ•-ρcosθ•=2

∴直线l的直角坐标方程为x-y+4=0（7分）

∴圆心到直线的距离为=2+1（10分）

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题型：简答题

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简答题

（坐标系与参数方程选做题）

已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．

正确答案

（Ⅰ）直线l普通方程为 y=x-2； …（2分）

曲线C的普通方程为+=1． …（4分）

（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），

∴点F1到直线l的距离d1==，…（6分）

点F2到直线l的距离d2==，…（8分）

∴d1+d2=2．…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=1，M，N分别为C1在直角坐标系中与x轴，y轴的交点．曲线C2的参数方程为（t为参数，且t＞0），P为M，N的中点．

（1）将C1，C2化为普通方程；

（2）求直线OP（O为坐标原点）被曲线C2所截得弦长．

正确答案

（1）C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=1，即ρ（cosθ+sinθ）=1，

∴C1化为普通方程是：C1：x+y-=0；

曲线C2的参数方程为消去参数t 得：C2普通方程：y=-x2+2，（4分）．

（2）因为M(，0)，N(0，)∴P(，)所以直线OP：y=x．（6分）

设直线OP：y=x与C2：y=-x2+2交于A，B两点

直线OP：y=x与C2：y=-x2+2联立得：x2+x-2=0，（8分）

∴A（1，1），B（-2，-2），所以|AB|=3．（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A(0，-)，F1，F2是圆锥曲线C的左，右焦点．

（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；

（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．

正确答案

（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），

所以普通方程为C：+=1∴A(0，-)，F2(1，0)，F1(-1，0)

∴kAF2=，l：y=(x+1)

∴直线l极坐标方程为：ρsinθ=ρcosθ+

即2ρsin(θ-)=

（2）将直线代入椭圆标准方程，得5x2+8x=0，

设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=0

∴|EF|===

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