极坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．

（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；

（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

正确答案

（Ⅰ）由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，

∵曲线C2的直角坐标方程为：()2+()2=1，

∴曲线C2的参数方程为：(θ为参数)．…（5分）

（Ⅱ）设点P的坐标(cosθ，2sinθ)，则点P到直线l的距离为：d==，

故当sin（600-θ）=-1时，可令θ=150°，点P(-，1)，

此时dmax==2．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=，圆M的参数方程为（θ为参数），则圆M上的点到直线l的最短距离为______．

正确答案

直线l的方程为ρsin(θ+)=，即（ρsinθ+ρcosθ）=，化成普通方程可得x+y=1，即x+y-1=0，

圆M的参数方程为，即 ①2+②2，消去θ，并整理，得圆M的参数方程（x+2）2+（y+1）2=4

圆M上的点到直线l的最短距离为圆心到l的距离d减去半径长．根据点到直线距离公式得d==2，而r=2

所以圆M上的点到直线l的最短距离为 2-2=2（-1）

故答案为：2（-1）

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆M：ρ2+2ρcosθ-3=0，则圆心M到直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的距离是______．

正确答案

圆M：ρ2+2ρcosθ-3=0，即x2+y2+2x-3=0 （x+1）2+y2=4，圆心坐标为M（-1，0），半径等于2．

直线ρcosθ+ρsinθ-7=0 即 x+y-7=0，

故圆心到直线的距离等于 =4，

故答案为 4．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（参数t∈R），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心C到直线l的距离为______．

正确答案

直线l的参数方程为（参数t∈R），即 x+y-3=0，

∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，

即 ρ2=4ρcosθ，

∴圆C的普通方程为 x2+y2=4x，（x-2）2+y2=4，故圆心（2，0），

则圆心C到直线l的距离为 =，

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

（1）选修4-2矩阵与变换：

已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．

①求实数a的值；

②求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

（2）选修4-4参数方程与极坐标：

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若l与C相交于AB两点，且AB=．

①求圆的普通方程，并求出圆心与半径；

②求实数m的值．

正确答案

（1）①∵点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．

∴=，∴2-2a=-4，∴a=3．（3分）

②由①知M=，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=||=λ2-3λ-4（5分）

令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．（6分）

当λ=-1时，∵，∴x+y=0

∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为；（8分）

当λ=4时，∵，∴2x-3y=0

∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．（10分）

（2）①曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，圆心坐标为（2，0），半径R=2．

②直线l的普通方程为y=x-m，则圆心到直线l的距离d==

所以=，可得|m-2|=1，解得m=1或m=3．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点P(2，)到直线l：3ρcosθ-4ρsinθ=3的距离为______．

正确答案

点P(2，)的直角坐标为（0，-2）

直线l：3ρcosθ-4ρsinθ=3的直角坐标方程为：3x-4y-3=0

利用点到直线的距离公式可得：d==1

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

选做题：在极坐标系中，圆C：p=10cosθ和直线l：3ρc0sθ-4ρsinθ-30=0相交于A、B两点，求线段AB的长．

正确答案

圆C：p=10cosθ 即 x2+y2=10x，表示圆心为（5，0）、半径等于5的圆．

直线l：3ρc0sθ-4ρsinθ-30=0 即 3x-4y-30=0，圆心（5，0）到直线3x-4y-30=0的距离等于

=3，

∴AB=2=8．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．

（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

正确答案

（Ⅰ）且参数α∈[0，2π]，

所以点P的轨迹方程为x2+（y-2）2=4．（3分）

（Ⅱ）因为ρ=，所以ρsin(θ-)=10，

所以ρsinθ-ρcosθ=10，所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0．（6分）

法一：由（Ⅰ）点P的轨迹方程为x2+（y-2）2=4，圆心为（0，2），半径为2.d==4，所以点P到直线l距离的最大值4+2．（10分）

法二：d==|cos(α+)+4|，当α=，dmax=4+2，即点P到直线l距离的最大值4+2．（10分）

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点P(2，)到直线l：3ρcosθ-4ρsinθ=3的距离为______．

正确答案

点P(2，)的直角坐标为（0，-2）

直线l：3ρcosθ-4ρsinθ=3的直角坐标方程为：3x-4y-3=0

利用点到直线的距离公式可得：d==1

故答案为：1

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心到直线ρsin(θ-)=的距离为______．

正确答案

将原极坐标方程ρ=2cosθ，化为：

ρ2=2ρcosθ，

化成直角坐标方程为：x2+y2-2x=0，

它表示圆心在（1，0）的圆，

直线ρsin(θ-)=的直角坐标方程为x-y+1=0，

∴所求的距离是：=．

故答案为：．

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