极坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．

正确答案

由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，

即圆C的方程为（x-2）2+y2=4，

∴圆的圆心坐标为（2，0），半径为2

又由消t，得x-y-m=0，

∵直线l与圆C相切，

∴圆心到直线的距离等于半径

∴=2，

解得m=2±2．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-），点M的极坐标为（6，），直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．

正确答案

圆C的直角坐标方程为（x-）2+（y-1）2=4．…（3分）

点M的直角坐标为（3，3），

当直线l的斜率不存在时，不合题意；

当直线的斜率存在时，设直线l的方程为；y-3=k（x-3），

圆心到直线的距离为r=2，…（6分）

因为圆心到直线l的距离 d==2，

所以k=0或k=．

故所求直线的方程为y=3或x-y-6=0，

其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin（-θ）=3…（10分）

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题型：简答题

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简答题

（附加题-选做题）（坐标系与参数方程）

已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为ρsin(θ+)=-．

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．

正确答案

（1）由，α∈[0，2π），得x2+y=1，x∈[-1，1]．

（2）由ρsin(θ+)=-．

得曲线D的普通方程为x+y+2=0

得x2-x-3=0

解x=∉[-1，1]，故曲线C与曲线D无公共点．

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题型：简答题

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简答题

在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），

∴圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=3．

化为极坐标方程是ρ2-2ρ（cosθ+sinθ）-1=0 …（5分）

（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x-1）2+（y-1）2=3，

得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，

即t2+2t（cosα+sinα）-1=0．

∴t1+t2=-2（cosα+sinα），t1•t2=-1．

∴|AB|=|t1-t2|==2．

∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．

即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ+)=2

（I）求曲线C在极坐标系中的方程；

（II）求直线l被曲线C截得的弦长．

正确答案

（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程为（x-2）2+y2=4，

再化为极坐标方程是 ρ=4cosθ．----（5分）

（2）∵直线l的直角坐标方程为 x+y-4=0，

由求得，或，可得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2）（4，0），

所以弦长为 =2．----（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：（t为参数）与曲线C的极坐标方程：ρ=cos(θ+)．

（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程（极点与坐标原点重合，极轴与x轴重合）

（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

正确答案

（1）将方程消去t得直线l普通方程3x+4y+1=0…（2分）．

把 ρ=cos(θ+)化为 ρ2=ρ(cosθ•-sinθ•)…（4分），

得曲线C的直角坐标方程：x2+y2-x+y=0． …（6分）

（2）曲线C的圆心C(，-)，半径为，…（8分）

由点到直线距离公式得圆心到直线距离：d==，…（10分）

则弦长=2==． …（12分）

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题型：填空题

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填空题

（选做题）（坐标系与参数方程）曲线（α为参数）与曲线ρ2-2ρcosθ=0的直角坐标方程分别为______与______，两条曲线的交点个数为______个．

正确答案

由题设知：把参数方程消去参数化为普通方程得 x2+（y-1）2=1，

把极坐标方程化为直角方程得 x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1；

两圆心距为，且0=1-1＜＜1+1=2，故两圆相交，故有2个公共点．

故答案为 x2+（y-1）2=1，（x-1）2+y2=1，2．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则直线l与圆C的位置关系为______．

正确答案

把直线l的参数方程化为普通方程得：2x-y+1=0，

把圆C的极坐标方程化为平面直角坐标系的方程得：x2+(y-

2

)2=2，

所以圆心坐标为（0，），半径r=，

因为圆心到直线l的距离d=＜r=，所以直线l与圆C的位置关系为相交．

故答案为：相交

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线ρcos(θ-)=与圆ρ=的公共点个数是______．

正确答案

直线ρcos(θ-)=，即 x+y=，即 x+y-2=0．

圆ρ=，即x2+y2=2，表示圆心在原点，半径等于的圆．

圆心到直线的距离等于=，

故直线和圆相切，

故答案为1．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线L：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=）作平行于θ=(ρ∈R)的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．

（I）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；

（II）求|BC|的长．

正确答案

（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为（4，3），

曲线L即 ρ2 sin2θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y2=2x，

由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y-3=x-4，即y=x-1．

（Ⅱ）设B（x1，y1）、C（x2，y2），由可得 x2-4x+1=0，

由韦达定理得x1+x2=4，x1•x2=1，

由弦长公式得|BC|=|x1-x2|=2．

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