极坐标系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=______．

正确答案

抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），即 x2=4y，焦点（0，1），准线方程y=-1．

直线l的参数方程（t为参数），即 x-y+=0，

把直线方程代入抛物线C的方程可得 3y2-10y+3=0，∴y1+y2=．

由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=（ y1+1）+（y2+1）=．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（0，2），直线l与曲线C交于A，B两点．

（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．

正确答案

（1）直线l的普通方程为：x-y+2=0．

∵ρcos2θ=sinθ，∴ρ2cos2θ=ρsinθ，∴曲线C直角坐标方程y=x2 ．（6分）

（2）将代入y=x2得，t2-2t-8=0，|MA|•|MB|=|t1t2|=8．（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=6，圆C的参数方程为．

（1）化直线l的方程为直角坐标方程；

（2）化圆的方程为普通方程；

（3）求直线l被圆截得的弦长．

正确答案

（1）∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=6，即ρsinθcos-ρcosθsin=6，

化为直角坐标方程为y-x=6，即 x-y+12=0．

（2）∵圆C的参数方程为，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ 可得x2+y2=100，

故圆的普通方程为x2+y2=100．

（3）圆心（0，0）到求直线l的距离等于=6，半径等于10，

由弦长公式可得弦长等于 2=16．

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题型：填空题

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填空题

圆C的极坐标方程p=2cosθ化为直角坐标方程为______，该圆的面积为______．

正确答案

将方程p=2cosθ两边都乘以p得：p2=2pcosθ，

化成直角坐标方程为

x2+y2-2x=0．半径为1，面积为π．

故填：x2+y2-2x=0 π．

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题型：填空题

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填空题

已知两直线的极坐标方程ρ=和θ=(ρ∈R)，则两直线交点的极坐标为______．

正确答案

∵ρ=

∴ρsinθ+ρcosθ=1，

化成直角坐标方程为x+y=1，

θ=(ρ∈R)化成直角坐标方程为y=x，

∴两直线交点的极坐标为（，），

它的极坐标是：(，)．

故填：(，)．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极方程为ρ+sinθ+cosθ=0．则圆心的极坐标______．

正确答案

∵ρ+sinθ+cosθ=0．

∴ρ2+ρsinθ+ρcosθ=0．

∴x2+y2+x+y=0．

圆心坐标为（-，-）

设圆心的极坐标为（ρ，θ）

ρ==1

所以圆心的极坐标为（1，π）．

故答案为：（1，π）．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数，m∈R），曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，且直线l被曲线C截得的弦长为．

（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；

（2）求实数m的值．

正确答案

（1）由消去参数t，得直线l的直角坐标方程为x+y-（m+3）=0，

由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1；

（2）由（1）知，曲线C是圆心为（1，0），半径为1的圆，

若直线l被曲线C截得的弦长为，则圆心（1，0）到直线l的距离为，

所以=，解得m=-1或-3，即实数m的值为-1或-3．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin（θ-）=3，点A（2，）到曲线C上点的距离的最小值AP0=______．

正确答案

曲线C的极坐标方程为ρsin（θ-）=3，

即ρsinθcos-ρcosθsin=3，

它的直角坐标方程为：y-x-6=0，

点A（2，）的直角坐标为（2cos，2sin），即A（1，）．

点A（2，）到曲线C上点的距离的最小值AP0，

就是d==2．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（sinθ+cosθ）+2=0与ρ（sinθ-cosθ）+2=0的交点的极坐标为______．

正确答案

曲线ρ（cosθ+sinθ）+2=0，即 x+y+2=0，ρ（sinθ-cosθ）+2=0，即 y-x+2=0，

联立方程组，解得 x=0，y=-2，故两曲线的交点坐标为（0，-2），此点在直角坐标系中的y轴上，

故交点的极坐标为（2，），

故答案为：（2，）．

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题型：简答题

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简答题

（1）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ=(ρ∈R)，它与曲线(θ为参数）相交于两点A和B，求|AB|．

（2）在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．设圆C与直线L交于点A、B．若点P的坐标为（3，-2），求|PA|+|PB|及|PA|•|PB|．

正确答案

（1）∵ρ=，

利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行化简，

∴x-y=0，

相消去θ可得

圆的方程（x-2）2+（y-1）2=5得到圆心（2，1），半径r=，

所以圆心（2，1）到直线的距离d==，

所以|AB|=2 =3

∴线段AB的长为 3．

（2）圆C的普通方程是（x-2）2+y2=4，

将直线l的参数方程代入并化简得t2-2t+1=0，

由直线参数方程的几何意义得，|PA|+|PB|=2，|PA|•|PB|=1．

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