极坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为______．

正确答案

解：由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，

则它们的直角坐标方程分别为 x2+（y-1）2=1，x+y+1=0．

曲线C1上表示一个半径为1的圆，圆心为（0，1），

曲线C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d==，

故曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为-1，

故答案为：-1．

解析

解：由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，

则它们的直角坐标方程分别为 x2+（y-1）2=1，x+y+1=0．

曲线C1上表示一个半径为1的圆，圆心为（0，1），

曲线C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d==，

故曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为-1，

故答案为：-1．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，点（2，）和圆ρ=2cosθ的圆心的距离为______．

正确答案

解析

解：圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，

∴x2+y2=2x，配方（x-1）2+y2=1．

可得圆心C（1，0）．

由点P（2，）和直角坐标（0，2）．

∴|PQ|==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知M点的直角坐标为（，），A（1，0），求直线AM的参数方程．

正确答案

解：由题意可得直线AM的斜率为 k==，

设直线的倾斜角为α，则tanα=，sinα=，cosα=，

故直线的参数方程为，即，（t为参数，α为直线AM的倾斜角）．

解析

解：由题意可得直线AM的斜率为 k==，

设直线的倾斜角为α，则tanα=，sinα=，cosα=，

故直线的参数方程为，即，（t为参数，α为直线AM的倾斜角）．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线L：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；

（Ⅱ）求|BC|的长．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为（4，3），

曲线L即 ρ2 sin2θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y2=2x，

由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y-3=x-4，即y=x-1．

（Ⅱ）设B（x1，y1）、C（x2，y2），由可得 x2-4x+1=0，

由韦达定理得x1+x2=4，x1•x2=1，

由弦长公式得．

解析

解：（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为（4，3），

曲线L即 ρ2 sin2θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y2=2x，

由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y-3=x-4，即y=x-1．

（Ⅱ）设B（x1，y1）、C（x2，y2），由可得 x2-4x+1=0，

由韦达定理得x1+x2=4，x1•x2=1，

由弦长公式得．

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题型：简答题

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简答题

若两条曲线的极坐标方程分别为ρcosθ+ρsinθ=1，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．

正确答案

解：ρcosθ+ρsinθ=1化为．

化为，

∴x2+y2=x-y，化为=1，可得圆心C，半径r=1．

∴圆心C到直线的距离d==1．

直线AB与圆相切，|AB|=0．

解析

解：ρcosθ+ρsinθ=1化为．

化为，

∴x2+y2=x-y，化为=1，可得圆心C，半径r=1．

∴圆心C到直线的距离d==1．

直线AB与圆相切，|AB|=0．

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题型：填空题

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填空题

以直角坐标系中的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，已知曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ-），直线l：（t为参数），若l过曲线C的中心，则直线l的倾斜角为______．

正确答案

解析

解：曲线C的极坐标方程ρ=cos（θ-），即 ρ2=ρcosθ+ρsinθ，

化为直角坐标方程为 +=，表示以（，）为圆心、半径等于的圆．

把直线l：（t为参数），消去参数化为普通方程为 y=x．

再根据直线过曲线的中心，可得=×，

∴=，∴直线的斜率为，

故直线的倾斜角为，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，记ρ为极径，θ为极角，设曲线ρsin（θ-）=2关于直线sinθ=cosθ对称的曲线为C，则C的极坐标方程是______．

正确答案

解析

解：曲线ρsin（θ-）=2即（ρsinθ-ρcosθ）=2，

即有y=x+4，

直线sinθ=cosθ即为y=x，

由关于直线y=x对称的特点，可得对称的曲线为：x=y+4，

再化为极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ=4，

则有曲线C：，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

抛物线C的准线方程为x=-（p＞0），顶点在原点，抛物线C与直线l：y=x-1相交所得弦长为，则p的值为______．

正确答案

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解析

解：由题知抛物线C的准线方程为x=-（p＞0），顶点在原点，

所以其方程为y2=px，

与直线l的方程为y=x-1，联立

得：y2-py-p=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

∴|AB|==，

由题意得=，

解得p=1．

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设M（-1，），直线l与圆C相交于点A，B，求|MA||MB|．

正确答案

解：（I）由圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，变为ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x-1）2+y2=1．

（II）把直线l的参数方程为参数），代入圆的方程可得+6=0，

∴t1t2=6．

∴|MA||MB|=6．

解析

解：（I）由圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，变为ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x-1）2+y2=1．

（II）把直线l的参数方程为参数），代入圆的方程可得+6=0，

∴t1t2=6．

∴|MA||MB|=6．

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题型：简答题

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简答题

把下列方程化为直角坐标方程（并说明对应的曲线）：

①ρ=-4cosθ+2sinθ；

②（θ为参数）．

正确答案

解：①∵ρ=-4cosθ+2sinθ，

两边同乘以ρ，得

ρ2=-4ρcosθ+2ρsinθ，

∴x2+y2=-4x+2y，

∴x2+y2+4x-2y=0

∴（x+2）2+（y-1）2=5，

它表示一个以（-2，1）为圆心，以为半径的圆．

②∵（θ为参数）．

将x=sinθ两边平方，得

x2=sin2θ，

两式相加，得

y=-x2-6（-1≤x≤1），

它表示的曲线为抛物线的一部分．

解析

解：①∵ρ=-4cosθ+2sinθ，

两边同乘以ρ，得

ρ2=-4ρcosθ+2ρsinθ，

∴x2+y2=-4x+2y，

∴x2+y2+4x-2y=0

∴（x+2）2+（y-1）2=5，

它表示一个以（-2，1）为圆心，以为半径的圆．

②∵（θ为参数）．

将x=sinθ两边平方，得

x2=sin2θ，

两式相加，得

y=-x2-6（-1≤x≤1），

它表示的曲线为抛物线的一部分．

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