极坐标系_章节学习

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题型：单选题

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单选题

在极坐标系中，过点（2，）且垂直于极轴的直线方程为（　　）

Aρsinθ=-1

Bρsinθ=1

Cρcosθ=-1

Dρcosθ=1

正确答案

D

解析

解：点（2，）的直角坐标为（1，），故过点（2，）且垂直于极轴的直线方程为x=1，

化为极坐标方程为ρcosθ=1，

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为（　　）

A极点

B极轴

C一条直线

D两条相交直线

正确答案

D

解析

解：∵pcos2θ=0⇒cos2θ=0，

⇒θ=kπ±，θ∈Z，

它表示的曲线为两条相交直线．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

《坐标系与参数方程》选做题：

已知曲线C的极坐标方程是p=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则|MN|的最大值为______．

正确答案

+1

解析

解：∵曲线C的极坐标方程是p=2sinθ，两边同时乘以ρ，化为普通方程为 x2+y2=2y，即 x2+（y-1）2=1，

表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆．

直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t 可得 4x+3y-8=0，直线l与x轴的交点是M（2，0），

M到圆心的距离等于，故|MN|的最大值为 +1，最小值为 -1，

故答案为：+1．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是______．

正确答案

6

解析

解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y-4）2=16．

直线θ=（ρ∈R）化为y=x．

∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，

∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．

故答案为：6．

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题型：简答题

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简答题

把下列极坐标方程化成直角坐标方程：

（1）ρ=tanθ；

（2）ρ=；

（3）ρ+6cotθcscθ=0；

（4）ρ（2cosθ-3sinθ）=3；

（5）ρ=．

正确答案

解：（1）ρ=tanθ化为，化为直角坐标方程为：，即（x2+y2）x2=y2；

（2）ρ=，化为x=1；

（3）ρ+6cotθcscθ=0，化为=0，即ρ2sin2θ+6ρcosθ=0，化为直角坐标方程：y2+6x=0；

（4）ρ（2cosθ-3sinθ）=3，化为2x-3y=3；

（5）ρ=化为ρ-2ρcosθ=3，∴直角坐标方程为：=3+2x，化为．

解析

解：（1）ρ=tanθ化为，化为直角坐标方程为：，即（x2+y2）x2=y2；

（2）ρ=，化为x=1；

（3）ρ+6cotθcscθ=0，化为=0，即ρ2sin2θ+6ρcosθ=0，化为直角坐标方程：y2+6x=0；

（4）ρ（2cosθ-3sinθ）=3，化为2x-3y=3；

（5）ρ=化为ρ-2ρcosθ=3，∴直角坐标方程为：=3+2x，化为．

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题型：填空题

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填空题

方程ρ=表示的曲线是______．

正确答案

双曲线

解析

解：极坐标方程ρ=可化为，

ρ-ρcosθ+ρsinθ=1，

即-x+y=1，

整理，得1+2x-2y-2xy=0；

即xy-x+y=，

∴（x+1）（y-1）=-；

令x‘=x+1，y'=y-1，

曲线方程可化为x'y'=-，

它表示反比例函数，是双曲线．

故答案为：双曲线．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，将圆ρ=2acosθ（a＞0）的圆心绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的极坐标方程为______．

正确答案

ρ=2asinθ

解析

解：圆ρ=2acosθ（a＞0）的圆心为（a，0），绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的圆心为（0，a）．设p为所求圆上任意一点．当P在第一象限时．则OP=2asinθ，当P在第二象限时，OP=2asin（（π-θ）=2asinθ

当θ=0或θ=时都符合．

故答案为：ρ=2asinθ

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题型：简答题

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简答题

（2016•咸阳一模）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=-4cosθ．

（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；

（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

正确答案

解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y-2）2=4，即x2+y2-4y=0；

由ρ=-4cosθ，得ρ2=-4ρcosθ，即x2+y2=-4x．

两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（-2，2）．

其极坐标为（0，0），（）；

（2）如图，

由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．

此时|AB|=，O到AB的距离为．

∴△OAB的面积为S=．

解析

解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y-2）2=4，即x2+y2-4y=0；

由ρ=-4cosθ，得ρ2=-4ρcosθ，即x2+y2=-4x．

两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（-2，2）．

其极坐标为（0，0），（）；

（2）如图，

由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．

此时|AB|=，O到AB的距离为．

∴△OAB的面积为S=．

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题型：填空题

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填空题

（1）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为______．

（2）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若=，=，则

的值为______．

正确答案

解析

解：（1）曲线ρ=2sinθ化为直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，

而ρcosθ=-1化为直角坐标方程为x=-1．

直线x=-1与圆x2+（y-1）2=1的交点坐标为（-1，1），化为极坐标为．

（2）由割线定理知：PB•PA=PC•PD，

又∵PA=2PB，PD=3PC，∴PB•2PB=PD•PD，∴PB2=PD2，∴PB=PD，

又∵△PBC∽△PDA，∴==．

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题型：简答题

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简答题

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相等的长度单位．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设过点P（2，0），倾斜角为的直线l与曲线C交于A、B两点，求+的值．

正确答案

解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，

所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x．

（Ⅱ）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2-8t-32=0．

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=8，t1t2=-32．

∴|PA|+|PB|=|t1 -t2|==8，|PA|•|PB|=|t1 •t2|=32，

∴+==．

解析

解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，

所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x．

（Ⅱ）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2-8t-32=0．

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=8，t1t2=-32．

∴|PA|+|PB|=|t1 -t2|==8，|PA|•|PB|=|t1 •t2|=32，

∴+==．

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