极坐标系
共815题

极坐标系
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题型：简答题

简答题

选做题：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2cos(θ+)．

（1）将直线l的参数方程化为普通方程；将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出圆心的极坐标．

（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

正确答案

（1）l的普通方程：y+4=(x-1)（2分），

由ρ=2（cosθ-sinθ），得ρ2=2（ρcosθ-ρsinθ），故x2+y2=2x-2y，（4分）

圆心是（1，-1），其极坐标为（，-）（6分）

（2）圆心到直线的距离d=（8分）． d＞=r，所以直线l和圆C相离．（10分）

题型：简答题

简答题

已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2sin(θ+)．

（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．

正确答案

（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，

ρ=2sin(θ+)，即ρ=2（sinθ+cosθ），

两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），

得⊙C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2；

（Ⅱ）圆心C到直线l的距离d==＜，

所以直线l和⊙C相交．

题型：简答题

简答题

已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ＜），求曲线C1、C2交点的极坐标．

正确答案

曲线C1的极坐标方程ρcosθ=3，即x=3；

曲线C2的极坐标方程分别ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ＜），即ρ2=4ρcosθ，即 x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4（y＞0）．

由，可得，或（舍去），∴曲线C1、C2交点的坐标为（3，）．

设此交点的极坐标为（ρ，θ），则ρ==2，且tanθ=，∴θ=，

故交点的极坐标为（2，）．

题型：填空题

填空题

已知两直线的极坐标方程分别是ρ=和θ=(ρ∈R)，则两直线交点的极坐标为______．

正确答案

由ρ=⇒ρ(sinθ+cosθ)=1⇒x+y=1，直线θ=的普通方程为：y=x，

由⇒⇒x2+y2=(-1)2，

∴ρ==-1，再由 θ=，可得交点的坐标为 (-1，)，

故答案为 (-1，)．

题型：填空题

填空题

直线θ=-被曲线ρ=cos（θ+）所截得的弦的弦长为______．

正确答案

∵曲线ρ=cos（θ+），展开得ρ=(cosθ-sinθ)，

∴ρ=cosθ-sinθ，∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，

∴普通方程为x2+y2=x-y，即(x-)2+(y+)2=，

∴圆心(，-)，半径r=．

∵直线θ=-，∴直线的普通方程为x+y=0．

∵圆心在直线，

∴直线被此圆所截得的弦即为圆的直径2r=．

故答案为

题型：填空题

填空题

经过点P（2，），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是______．

正确答案

在直角坐标系中，过点P（2，），且垂直于极轴的直线 x=，

其极坐标方程为 ρcosθ=，

故答案为：ρcosθ=．

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）极坐标系内，曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q(1，)的最近距离等于______．

正确答案

曲线ρ=2cosθ在平面直角坐标系下的方程为：（x-1）2+y2=1，

是圆心在A（1，0）半径为1的圆；

点Q (1，)的平面直角坐标系下的坐标是（0，1）

因为AQ的距离为，

所以Q到圆上点的最近距离是：-1．（Q点到圆心的距离减去半径）

故答案为：-1．

题型：填空题

填空题

已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R)，曲线C1、C2相交于点A、B．则弦AB的长等于______．

正确答案

曲线C2：θ=（p∈R）表示直线y=x，

曲线C1：P=6cosθ，即p2=6pcosθ

所以x2+y2=6x即（x-3）2+y2=9

∵圆心（3，0）到直线的距离 d=，

r=3，

∴弦长AB=2=3．

∴弦AB的长度 3．

故答案为：3．

题型：简答题

简答题

已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（θ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为pcos(θ+)=0．

（1）写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；

（2）求圆C截直线l所得的弦长．

正确答案

（1）消去参数θ，得圆C的普通方程为(x-)2+(y-1)2=9．（2分）

由ρcos(θ+)=0，得ρcosθ-ρsinθ=0，

∴直线l的直角坐标方程为x-y=0．（5分）

（2）圆心(，1)到直线l的距离为d==1．（7分）

设圆C直线l所得弦长为m，则===2，∴m=4．（10分）

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l的方程为3ρsinϑ-4ρcosϑ=2，则点（，-)到直线l的距离为______．

正确答案

∵3ρsinθ-4ρcosθ=2，

∴它的直角坐标方程为：3y-4x-2=0，

又点 (，-)化成直角坐标为：（ 1，-1）

由点到直线的距离公式得：

d==．

故答案为：．

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