极坐标系
共815题

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题型：简答题

简答题

过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点．

（1）求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小

（2）求四边形ACBD的面积的最小值．

正确答案

（1）F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，

则抛物线的极坐标方程可写为ρ=…3’

设A（ρ1，θ），则B（ρ2，π+θ）

∴|AB|=ρ1+ρ2=+=…2’

同理|CD|==…2’

∴|AB|+|CD|=+==…2’

故当θ=时，|AB|+|CD|取最小值16，此时AB、CD的倾斜角分别为，．

（2）SABCD=|AB|．|CD|==…2’

易知：当θ=时，（SABCD）min=32

注：若以直角坐标系求解可同样给分…4’

题型：填空题

填空题

已知圆的极坐标方程为，则该圆的半径是 .

正确答案

试题分析：圆的方程为，即，化为直角坐标方程得，其标准方程为，故该圆的半径长为.

题型：简答题

简答题

在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，则直线的极坐标方程为______．

正确答案

由题意得，直线的斜率为 tan=，由点斜式得直线的方程为 y-0= （x-1），

即 x-y-=0，把 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入得：2ρ （cosθ+sinθ）-=0，

∴2ρ sin（-θ）=，∴所求直线的极坐标方程为 ρ sin(-θ) =，

故答案为 ρ sin(-θ) =．

题型：简答题

简答题

求直线ρsinθ=1与圆ρ=4cosθ相交的弦长．

正确答案

由ρsinθ=1得y=1--------------------------------------------------（2分）

∵ρ=4cosθ

∴ρ2=4ρcosθ

∴x2+y2=4x

∴（x-2）2+y2=4-----------------------------------------------------（6分）

∴圆心（2，0）到直线y=1的距离等于1，圆的半径为2------------------（8分）

∴由垂径定理得：

弦长d=2=2---------------------------------（12分）

题型：简答题

简答题

在极坐标系中，已知曲线C的方程是ρ=，过极点作直线l与极轴成60°角，设直线l交曲线C于P，Q两点，则线段PQ的长等于______．

正确答案

曲线C的方程 ρ=，即 3=2ρ-ρcosθ，2ρ=3+x，平方可得 3x2+4y2+6x-9=0，

过极点作直线l与极轴成60°角，则直线l的方程为 y= x，把直线方程代入曲线C的方程化简可得

5x2-2x-3=0，∴x1+x2=，x1•x2=-．

∴|PQ|=|x1-x2|= =2=，

故答案为．

题型：填空题

填空题

已知直线l的参数方程为（t为参数），则此直线的倾斜角α=______；又半径为2，经过原点O的圆C，其圆心在第一象限并且在直线l上，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为______．

正确答案

直线l的参数方程为（t为参数），

∴其直角坐标方程为y=x，斜率k=，

则此直线的倾斜角α=．

如图，设圆上任意一点P（ρ，θ）．则∠POA=θ-，

在直角三角形PAO中，OP=OAcos∠POA，即ρ=4cos(θ-)．

故答案为：；ρ=4cos(θ-)．

题型：填空题

填空题

直线与曲线相交，截得的弦长为_

正确答案

试题分析：曲线的直角坐标方程为，标准方程为，表示以点为圆心，半径长为的圆，直线的一般式方程为，则圆心到直线的距离为，因此直线与圆相交所得的弦长为.

题型：填空题

填空题

以极坐标系中的点(1，)为圆心，1为半径的圆的直角坐标方程是______．

正确答案

极坐标系中的点(1，)的直角坐标为（，），

∴圆心为（，），半径为1，则圆的方程为(x-)2+(y-)2=1．

故答案为：(x-)2+(y-)2=1．

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：ρ=2cos(θ-)的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为______．

正确答案

把ρ=2cos(θ-)化为直角坐标系的方程为x2+y2=2x+2y，

圆心C的坐标为（1，1），

与直线OC垂直的直线方程为x+y-2=0，

化为极坐标系的方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0或ρcos(θ-)=．

故答案为：ρcosθ+ρsinθ-2=0或ρcos(θ-)=．

题型：填空题

填空题

《坐标系与参数方程》选做题：

已知曲线C的极坐标方程是p=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则|MN|的最大值为______．

正确答案

ρ=2sinθ，即 x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆．

直线l的参数方程是（t为参数）．化为普通方程为 4x+3y=0，线l与x轴的交点M（0，0）．

点M到圆心的距离等于1，|MN|的最大值为 1+1=2，

故答案为：2．

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