极坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知曲线ρ=2cosθ与直线（t为参数）相切，求实数a的值．

正确答案

解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2-2x=0，化为标准方程：（x-1）2+y2=1．

由，消去参数t得：3x+4y+a=0．

∵正弦与圆相切，∴，解得：a=-8或a=2．

解析

解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2-2x=0，化为标准方程：（x-1）2+y2=1．

由，消去参数t得：3x+4y+a=0．

∵正弦与圆相切，∴，解得：a=-8或a=2．

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题型：填空题

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填空题

（理）极坐标方程表示的圆：ρ=2cosθ-2sinθ的半径长为______．

正确答案

2

解析

解：将原极坐标方程为 ρ=2cosθ-2sinθ，

化为：ρ2-2ρcosθ+2 ρsinθ=0，

化成直角坐标方程为：x2+y2-2x+2y=0，

其表示半径为2的圆，

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，已知点A（2，π），B（2，），C是曲线p=2sinθ上任意一点，则△ABC的面积的最小值等于______．

正确答案

解析

解：点A（2，π），B（2，）的直角坐标为 A（-2，0），B（-1，-），故AB==2，且AB的方程为 =，即 x+y+2=0．

曲线p=2sinθ 化为直角坐标方程为 x2+（y-1）2=1，表示以C（0，1）为圆心，半径等于1的圆．

圆心到直线的距离为d==+，故点C到直线的最小距离等于d-1=（+-1）=，

故△ABC的面积的最小值等于 •AB•（d-1）=，

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的极坐标方程为，

（1）求曲线C的直角坐标方程．

（2）若P（x，y）是曲线C上的一动点，求x+2y的最大值．

正确答案

解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，得

，

∴，

∴．

∴曲线C的直角坐标方程．

（2）令，

∴x+2y=2cosα+2sinα=4sin（α+φ），

∴（x+2y）max=4 …（10分）

解析

解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，得

，

∴，

∴．

∴曲线C的直角坐标方程．

（2）令，

∴x+2y=2cosα+2sinα=4sin（α+φ），

∴（x+2y）max=4 …（10分）

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题型：简答题

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简答题

在极坐标系中，求圆ρ=4sinB上的点到直线的距离的最大值．

正确答案

解：圆方程化为：x2+（y-2）2=4，直线方程为：x-y-6=0，

圆心到直线的距离为：d=4

所以，所求最大距离为d+R=2+4．

解析

解：圆方程化为：x2+（y-2）2=4，直线方程为：x-y-6=0，

圆心到直线的距离为：d=4

所以，所求最大距离为d+R=2+4．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α=以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ，即 ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程为 x2+（y-2）2=4，

表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆．

（Ⅱ）由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=，可得直线的方程为．

把直线方程代入曲线方程化简可得 +-4（1+t），

解得 t1=，t2=-，

∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=2．

解析

解：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ，即 ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程为 x2+（y-2）2=4，

表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆．

（Ⅱ）由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=，可得直线的方程为．

把直线方程代入曲线方程化简可得 +-4（1+t），

解得 t1=，t2=-，

∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=2．

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题型：简答题

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简答题

求极坐标方程1+ρ2sin2φ=0所表示的曲线．

正确答案

解：由1+ρ2sin2φ=0可得：1+2ρ2cosφsinφ=0，化为直角坐标方程：1+2xy=0，即．

因此所表示的曲线为：等轴双曲线．

解析

解：由1+ρ2sin2φ=0可得：1+2ρ2cosφsinφ=0，化为直角坐标方程：1+2xy=0，即．

因此所表示的曲线为：等轴双曲线．

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题型：填空题

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填空题

（理）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为______．

（文）若D是由所确定的区域，则圆x2+y2=4在D内的弧长为______．

正确答案

ρ=2sinθ

解析

解：（理）把曲线C的参数方程是（θ是参数），化为直角坐标方程可得x2+（y-1）2=1，

即 x2+y2-2y=0，化为极坐标方程为 ρ2-2ρsinθ=0，故答案为：ρ=2sinθ．

（文）如图所示：劣弧长AB即为所求，OA的斜率为，OB的斜率为-，

tan∠AOB=||=1，∴∠AOB=，故劣弧长AB为 ×r=×2=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离的最小值是此时点P的坐标．

正确答案

解：（Ⅰ）由，得，两式平方作和得，

∴曲线C1的普通方程为；

由ρcos（θ+）=2，得，

即，即．

∴曲线C2的直角坐标方程为；

（Ⅱ）设P（cosφ，sinφ），由题意知，点P到直线C2距离为

=，

当φ=-时，d取最小值，

此时点P（，）．

解析

解：（Ⅰ）由，得，两式平方作和得，

∴曲线C1的普通方程为；

由ρcos（θ+）=2，得，

即，即．

∴曲线C2的直角坐标方程为；

（Ⅱ）设P（cosφ，sinφ），由题意知，点P到直线C2距离为

=，

当φ=-时，d取最小值，

此时点P（，）．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．直线l过点（-1，2）且倾斜角为．

（Ⅰ）在直角坐标系下，求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．

正确答案

解：（I）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．化为ρ2cos2θ=ρsinθ，∴x2=y．

由直线l过点（-1，2）且倾斜角为，可得参数方程为．

（II）把直线l代入抛物线方程可得=0，

∴，t1t2=-2．

∴|AB|=|t1-t2|===．

解析

解：（I）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．化为ρ2cos2θ=ρsinθ，∴x2=y．

由直线l过点（-1，2）且倾斜角为，可得参数方程为．

（II）把直线l代入抛物线方程可得=0，

∴，t1t2=-2．

∴|AB|=|t1-t2|===．

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