极坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcos（θ-）=1．

（1）求直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求实数a的值．

正确答案

解：（1）由ρcos（θ-）=1，得，

即，∴；

（2）由，得x2+（y-a）2=1．

圆心（0，a）到直线的距离为，

又直线l被圆C截得的弦长为，∴，整理得：a=1或a=3．

解析

解：（1）由ρcos（θ-）=1，得，

即，∴；

（2）由，得x2+（y-a）2=1．

圆心（0，a）到直线的距离为，

又直线l被圆C截得的弦长为，∴，整理得：a=1或a=3．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，O是极点，点，，则以线段OA，OB为邻边的平行四边形的面积是______．

正确答案

3

解析

解：因为在极坐标系中，O是极点，点，，所以∠AOB==，

所以以线段OA，OB为邻边的平行四边形的面积是：=3．

故答案为：3．

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题型：简答题

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简答题

在极坐标系中，已知点P的极坐标为（4，）．

（1）若极点不变，将极轴顺时针旋转，求点P在新坐标系中的极坐标；

（2）将极点已知O′（2，）处，极轴方向不变，求点P在新坐标系中的极坐标．

正确答案

解：（1）已知点P的极坐标为（4，），若极点不变，将极轴顺时针旋转，

则点P在新坐标系中极径不变，极角比原来增大，故点P在新坐标系中的极坐标为（4，）．

（2）将极点已知O′（2，）处，极轴方向不变，则在对应的直角坐标系中，O′的直角坐标（3，）．

再根据平移规律可得．

则根据点P的直角坐标为（2，2），可得点P的直角坐标为（x′，y′），满足 x′=2+3=5，y′=2+=3，

即点P在新的直角坐标系中的坐标为（5，3）．

故点P的极径为ρ==2，极角θ为锐角且tanθ=，故点P在新坐标系中的极坐标为（2，arctan）．

解析

解：（1）已知点P的极坐标为（4，），若极点不变，将极轴顺时针旋转，

则点P在新坐标系中极径不变，极角比原来增大，故点P在新坐标系中的极坐标为（4，）．

（2）将极点已知O′（2，）处，极轴方向不变，则在对应的直角坐标系中，O′的直角坐标（3，）．

再根据平移规律可得．

则根据点P的直角坐标为（2，2），可得点P的直角坐标为（x′，y′），满足 x′=2+3=5，y′=2+=3，

即点P在新的直角坐标系中的坐标为（5，3）．

故点P的极径为ρ==2，极角θ为锐角且tanθ=，故点P在新坐标系中的极坐标为（2，arctan）．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系xoy中，定点A（2，π），动点B在直线上运动，则线段AB的最短长度为______．

正确答案

解析

解：直线的直角坐标方程为：

x+y-1=0，

定点A（2，π）的直角坐标（-2，0），

它到直线的距离：

d=．

则线段AB的最短长度为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

在极坐标系中，下列结论正确的个数是（　　）

（1）点P在曲线C上，则点P的所有极坐标满足曲线C的极坐标方程．

（2）ρ=sin（θ+）与ρ=sin（θ-）表示同一条曲线；

（3）ρ=2与ρ=-2表示同一条曲线．

A0

B1

C2

D3

正确答案

B

解析

解：（1）点P在曲线C上，则点P的所有极坐标满足曲线C的极坐标方程，不一定正确．

（2）ρ=sin（θ+）化为ρ2=（ρsinθ+ρcosθ），即，

同理ρ=sin（θ-）化为，表示的不是同一条曲线；

（3）ρ=2与ρ=-2表示同一条曲线都是以极点为圆心、2为半径的圆，正确．

综上可得：只有（3）正确．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=a（a＞0），直线l的极坐标方程是=1，曲线C2与直线l有二交点A，B．

（1）求C2与l的普通方程，并求a的取值范围；

（2）设P为C1上任意一点，当a=2时，求△PAB面积的最大值．

正确答案

解：（1）曲线C2的极坐标方程是ρ=a（a＞0），可得直角坐标方程：x2+y2=a2．

直线l的极坐标方程是=1，展开化为：=1，可得直角坐标方程：-2=0．

∵曲线C2与直线l有二交点A，B．

∴圆心（0，0）到直线的距离d==1＜a，

∴a的取值范围是a＞1．

（2）当a=2时，圆的方程为x2+y2=4．

弦长|AB|=2==2．

∴P为C1上任意一点，曲线C1的参数方程是（φ为参数），

则点P到直线l的距离h==，

∴△PAB面积的最大值S=|AB|=×2=．

解析

解：（1）曲线C2的极坐标方程是ρ=a（a＞0），可得直角坐标方程：x2+y2=a2．

直线l的极坐标方程是=1，展开化为：=1，可得直角坐标方程：-2=0．

∵曲线C2与直线l有二交点A，B．

∴圆心（0，0）到直线的距离d==1＜a，

∴a的取值范围是a＞1．

（2）当a=2时，圆的方程为x2+y2=4．

弦长|AB|=2==2．

∴P为C1上任意一点，曲线C1的参数方程是（φ为参数），

则点P到直线l的距离h==，

∴△PAB面积的最大值S=|AB|=×2=．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

正确答案

解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x-1）2+y2=1，

∴ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．

设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．

∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1-ρ2|=2．

∴|PQ|=2．

解析

解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x-1）2+y2=1，

∴ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．

设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．

∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1-ρ2|=2．

∴|PQ|=2．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，已知圆C的圆心是C（1，），半径为1，则圆C的极坐标方程为______．

正确答案

ρ=2cos（θ-）

解析

解：∵圆C的圆心是C（1，）即，半径为1，

∴圆的方程为=1．

化为=0，

化为ρ2-=0，

即ρ==2．

故答案为：ρ=2．

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题型：简答题

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简答题

在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；

（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．

正确答案

解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，

则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．

点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．

（Ⅱ）设P（）

根据题意，得到Q（2，sinθ），

则：|PQ|=，|QR|=2-sinθ，

所以：|PQ|+|QR|=．

当时，（|PQ|+|QR|）min=2，

矩形的最小周长为4，点P（）．

解析

解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，

则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．

点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．

（Ⅱ）设P（）

根据题意，得到Q（2，sinθ），

则：|PQ|=，|QR|=2-sinθ，

所以：|PQ|+|QR|=．

当时，（|PQ|+|QR|）min=2，

矩形的最小周长为4，点P（）．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1：ρ=2sinθ，曲线（t为参数）

（I）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；

（II）若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值．

正确答案

解：（I）曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ

又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ

所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2-2y=0

因为曲线C2的参数方程是，

消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y-8=0

（II）因为曲线C2为直线

令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）

曲线C1为圆，其圆心坐标为C1（0，1），半径r=1，则

∴，|MN|的最大值为

解析

解：（I）曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ

又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ

所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2-2y=0

因为曲线C2的参数方程是，

消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y-8=0

（II）因为曲线C2为直线

令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）

曲线C1为圆，其圆心坐标为C1（0，1），半径r=1，则

∴，|MN|的最大值为

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