- 极坐标系
- 共815题
在极坐标系中,点(1,0))到直线ρ(3cosθ+4sinθ)=2的距离是______.
正确答案
解析
解:直线ρ(3cosθ+4sinθ)=2化为3x+4y-2=0,
∴点(1,0))到直线ρ(3cosθ+4sinθ)=2的距离==
.
故答案为:.
选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系中,已知圆心,半径r=1
(1)求圆的极坐标方程;
(2)若直线与圆交于A,B两点,求AB的中点C与点P(-1,0)的距离.
正确答案
解:(1)由已知极坐标圆心,得直角坐标系下的圆心
,半径1,
∴圆的方程为,
即,
所以极坐标方程为.
(2)把直线方程代入圆方程得,
设t1,t2是方程两根,∴.
所以.
解析
解:(1)由已知极坐标圆心,得直角坐标系下的圆心
,半径1,
∴圆的方程为,
即,
所以极坐标方程为.
(2)把直线方程代入圆方程得,
设t1,t2是方程两根,∴.
所以.
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P的极坐标(2,)化成直角坐标______.
正确答案
(,
)
解析
解:设点(2,)的直角坐标是(x,y),
由题意得,x=2cos=
,y=2sin
=
,
所以点(2,)的直角坐标是(
,
).
故答案为:(,
).
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),则l被C截得的弦长为______.
正确答案
4
解析
解:圆C的直角坐标方程为x2+y2=4,直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程为
x-y=0,
求得弦心距d==0,故弦长为直径4,
故答案为:4.
请在下面两题中,任选一题作答:
(1)(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2,AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B,PB=l,则圆O的半径R=______.
(2)(坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下两圆的极坐标方程分别为,则此两圆的圆心距为______.
正确答案
1
解析
解:(1)依题意,我们知道△PBA∽△PAC,
由相似三角形的对应边成比例性质我们有 =
,
即R==
=
.
故答案为:.
(2)ρ=cosθ 即 ρ2=ρcosθ,即x2+y2=x,即 (x-)2+y2=
,
表示以M(,0)为圆心,以
为半径的圆.
ρ=sinθ 即 ρ2=
ρ•sinθ,x2+y2=
y,即 x2+(y-
)2=
,
表示以N(0,)为圆心,以
为半径的圆.
故两圆的圆心距|MN|==1,
故答案为:1.
圆ρ=(cosθ+sinθ)的圆心坐标是( )
正确答案
解析
解:由ρ=(cosθ+sinθ),得
,
即,
∴圆ρ=(cosθ+sinθ)的圆心的直角坐标为(
),
∴.
∴圆ρ=(cosθ+sinθ)的圆心坐标是(1,
).
故选:B.
在极坐标系中,曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B,则|AB|=______.
正确答案
2
解析
解:将其化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0,和x=1,
代入得:y2-4y+1=0,
则 .
故答案为:.
在极坐标系中,直线ρsin(θ-)=
与圆ρ=2cosθ的位置关系是( )
正确答案
解析
解:由直线ρsin(θ-)=
得,
x-y+1=0,
由圆ρ=2cosθ得
x2+y2=2x,
∴(x-1)2+y2=1,它的圆心为(1,0),半径r=1,
∵圆心到直线的距离d==
>r=1,
∴直线与圆相离.
故选:B.
在极坐标系中,曲线C1的方程为ρ=4cosθ,将曲线C1绕极点O逆时针旋转弧度,得到曲线C2,设P为曲线C2上的动点,Q为曲线L:
=0上的动点,求P、Q距离的最小值.
正确答案
解:把曲线C1的方程为ρ=4cosθ化为直角坐标方程为 (x-2)2+y2=4,将曲线C1绕极点O逆时针旋转弧度,得到曲线C2,
则曲线C2的直角坐标方程为 +
=4.
曲线L:=0的直角坐标方程为 x-y+4=0,由于圆心C2到直线 x-y+4=0 的距离为d=
=2
,
故P、Q距离的最小值为d-r=2-2.
解析
解:把曲线C1的方程为ρ=4cosθ化为直角坐标方程为 (x-2)2+y2=4,将曲线C1绕极点O逆时针旋转弧度,得到曲线C2,
则曲线C2的直角坐标方程为 +
=4.
曲线L:=0的直角坐标方程为 x-y+4=0,由于圆心C2到直线 x-y+4=0 的距离为d=
=2
,
故P、Q距离的最小值为d-r=2-2.
(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系下,圆ρ=2的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是______.
正确答案
解析
解:直线ρsinθ+2ρcosθ=1的极坐标方程为:
2x+y-1=0,
而圆ρ=2的圆心即极点,
∴极点到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离等于:=
.
故答案为:.
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