- 极坐标系
- 共815题
在极坐标系中与圆ρ=4sin(θ+)相切的一条直线的方程为( )
正确答案
解析
解:圆ρ=4sin(θ+)即 ρ2=2
ρcosθ+2
ρsinθ,
化为直角坐标方程为 +
=4,表示以(
,
)为圆心,半径等于2的圆.
而 ρsin(θ-)=4,即
x-
y+8=0,圆心(
,
)到直线的距离为
=4,大于半径,
故此直线和圆相离,故排除A.
由于ρsinθ=4 即 y=4 显然它和圆相离,故排除B.
由于ρcosθ=4即 x=4,显然它和圆相离,故排除C.
由于ρcos(θ-)=4,即
x+
y-8=0,圆心(
,
)到直线的距离为
=2,正好等于半径,
故直线和圆相切,故满足条件.
故选:D.
在极坐标系中,与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程是( )
正确答案
解析
解:由θ=,得tanθ=
,即
,得对称轴方程为
.
在方程ρ=cosθ+1中,取θ=,则
,
由,得点(
,1)的直角坐标为(0,1),
则过点(0,1)且与直线垂直的直线的直角坐标方程为
,
从而此两直线的交点坐标为,
由中点公式,得点(0,1)关于直线对称的点为
,
设其极坐标为(ρ0,θ0),则,取
,
又,得点
,
此点必在曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=(ρ∈R)对称的曲线上,
在四个选项中,只有选项C中的方程满足.
故选:C.
在极坐标中,已知直线l方程为ρ(cosθ+sinθ)=1,点Q的坐标为(2,),则点Q到l的距离d为______.
正确答案
解析
解:直线l方程为ρ(cosθ+sinθ)=1,化直角坐标方程x+y=1.
点Q的坐标为(2,),化为
=1,yQ=
=
.∴Q
.
∴点Q到l的距离d==
.
故答案为:.
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角.
(Ⅰ)写出直线l的参数方程是______
(Ⅱ)设l与圆ρ=2相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积是______.
正确答案
(t为参数),
2
解析
解:(Ⅰ)设直线l上任意一点Q(x,y)
∵直线l经过点P(1,1),倾斜角.
∴直线的斜率为k==
设x-1=t,则y-1=t
∴(t为参数),即为直线l的参数方程.
(Ⅱ)圆ρ=2化成直角坐标方程:x2+y2=4
将x=t+1,则y=t+1代入,得:(
t+1)2+(t+1)2=4
∴2t2+(+1)t-1=0…(*)
∵l与圆ρ=2相交与两点A、B
∴A(t1+1,t1+1),B(
t2+1,t2+1),其中t1、t2是方程(*)的两个实数根.
由根与系数的关系,得
P到A、B两点的距离分别为:
,
∴点P到A、B两点的距离之积为PA•PB=4|t1t2|=2
故答案为:(t为参数),2
(2015春•睢宁县校级月考)把点P的极坐标(4,π)化为直角坐标为______.
正确答案
解析
解:=-2,y=
=2
.
∴直角坐标为.
故答案为:.
(2015秋•天津校级月考)圆C:ρ=-4sinθ上的动点P到直线l:ρsin(θ+)=
的最短距离为______.
正确答案
2-2
解析
解:圆C:ρ=-4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,化为x2+y2=-4y,配方为x2+(y+2)2=4,可得圆心C(0,-2),半径r=2.
到直线l:ρsin(θ+)=
化为
=
,化为x+y-2=0.
∴圆心C到直线l的距离d==2
,
∴圆C上的动点P到直线l的最短距离=d-r=2-2.
故答案为:2-2.
已知点P的极坐标是(2,),则过点P且平行极轴的直线方程是( )
正确答案
解析
解:把点P的极坐标(2,)化为直角坐标为(
,1),
故过点P且平行极轴的直线方程是y=1,
化为极坐标方程为 ρsinθ=1,
故选:D.
设过原点O的直线与圆C:(x-1)2+y2=1的一个交点为P,点M为线段OP的中点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.
正确答案
解:(1)圆(x-1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ.(4分)
(2)设点P的极坐标为(ρ1,θ1),点M的极坐标为(ρ,θ),
∵点M为线段OP的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ.(7分)
将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cosθ.
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ,
它表示圆心在点,半径为
的圆.(10分)
解析
解:(1)圆(x-1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ.(4分)
(2)设点P的极坐标为(ρ1,θ1),点M的极坐标为(ρ,θ),
∵点M为线段OP的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ.(7分)
将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cosθ.
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ,
它表示圆心在点,半径为
的圆.(10分)
曲线ρ2(2-cos2θ)=1的焦点的极坐标为______.
正确答案
、
解析
解:曲线ρ2(2-cos2θ)=1即:
2ρ2-ρ2(cos2θ-sin2θ)=1,
化成极坐标方程为:2(x2+y2)-x2+y2=1,
即:x2+3y2=1,⇒,
此椭圆的焦点坐标为:、
,
极坐标为、
.
故答案为:、
.
以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线c1的参数方程为(α为参数),直线l的极坐标方程为θ=
.
(1)求曲线c1与直线l的直角坐标方程.
(2)若直线l与曲线c1交于两点A、B,求|AB|.
正确答案
解:(1)曲线c1的参数方程为(α为参数),由cos2α+sin2α=1,可得:曲线C1的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-2)2=4;
直线l的极坐标方程为θ=,可的直线的倾斜角为
.又经过原点,∴曲线C2的直角坐标方程为:y=x.
(2)∵圆心(1,2)到直线y=x的距离d=,
∴|AB|=2=
.
解析
解:(1)曲线c1的参数方程为(α为参数),由cos2α+sin2α=1,可得:曲线C1的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-2)2=4;
直线l的极坐标方程为θ=,可的直线的倾斜角为
.又经过原点,∴曲线C2的直角坐标方程为:y=x.
(2)∵圆心(1,2)到直线y=x的距离d=,
∴|AB|=2=
.
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