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题型: 单选题
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单选题

在极坐标系中与圆ρ=4sin(θ+)相切的一条直线的方程为(  )

Aρsin(θ-)=4

Bρsinθ=4

Cρcosθ=4

Dρcos(θ-)=4

正确答案

D

解析

解:圆ρ=4sin(θ+)即 ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,

化为直角坐标方程为 +=4,表示以()为圆心,半径等于2的圆.

而 ρsin(θ-)=4,即x-y+8=0,圆心()到直线的距离为=4,大于半径,

故此直线和圆相离,故排除A.

由于ρsinθ=4 即 y=4 显然它和圆相离,故排除B.

由于ρcosθ=4即 x=4,显然它和圆相离,故排除C.

由于ρcos(θ-)=4,即x+y-8=0,圆心()到直线的距离为=2,正好等于半径,

故直线和圆相切,故满足条件.

故选:D.

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题型: 单选题
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单选题

在极坐标系中,与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程是(  )

Aρ=sin(+θ)+1

Bρ=sin(-θ)+1

Cρ=sin(+θ)+1

Dρ=sin(-θ)+1

正确答案

C

解析

解:由θ=,得tanθ=,即,得对称轴方程为

在方程ρ=cosθ+1中,取θ=,则

,得点(,1)的直角坐标为(0,1),

则过点(0,1)且与直线垂直的直线的直角坐标方程为

从而此两直线的交点坐标为

由中点公式,得点(0,1)关于直线对称的点为

设其极坐标为(ρ0,θ0),则,取

,得点

此点必在曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=(ρ∈R)对称的曲线上,

在四个选项中,只有选项C中的方程满足.

故选:C.

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题型:填空题
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填空题

在极坐标中,已知直线l方程为ρ(cosθ+sinθ)=1,点Q的坐标为(2,),则点Q到l的距离d为______

正确答案

解析

解:直线l方程为ρ(cosθ+sinθ)=1,化直角坐标方程x+y=1.

点Q的坐标为(2,),化为=1,yQ==.∴Q

∴点Q到l的距离d==

故答案为:

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题型:填空题
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填空题

以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角

(Ⅰ)写出直线l的参数方程是______

(Ⅱ)设l与圆ρ=2相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积是______

正确答案

(t为参数),

2

解析

解:(Ⅰ)设直线l上任意一点Q(x,y)

∵直线l经过点P(1,1),倾斜角

∴直线的斜率为k==

设x-1=t,则y-1=t

(t为参数),即为直线l的参数方程.

(Ⅱ)圆ρ=2化成直角坐标方程:x2+y2=4

将x=t+1,则y=t+1代入,得:(t+1)2+(t+1)2=4

∴2t2+(+1)t-1=0…(*)

∵l与圆ρ=2相交与两点A、B

∴A(t1+1,t1+1),B(t2+1,t2+1),其中t1、t2是方程(*)的两个实数根.

 由根与系数的关系,得

P到A、B两点的距离分别为:

∴点P到A、B两点的距离之积为PA•PB=4|t1t2|=2

故答案为:(t为参数),2

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题型:填空题
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填空题

(2015春•睢宁县校级月考)把点P的极坐标(4,π)化为直角坐标为______

正确答案

解析

解:=-2,y==2

∴直角坐标为

故答案为:

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题型:填空题
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填空题

(2015秋•天津校级月考)圆C:ρ=-4sinθ上的动点P到直线l:ρsin(θ+)=的最短距离为______

正确答案

2-2

解析

解:圆C:ρ=-4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,化为x2+y2=-4y,配方为x2+(y+2)2=4,可得圆心C(0,-2),半径r=2.

到直线l:ρsin(θ+)=化为=,化为x+y-2=0.

∴圆心C到直线l的距离d==2

∴圆C上的动点P到直线l的最短距离=d-r=2-2.

故答案为:2-2.

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题型: 单选题
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单选题

已知点P的极坐标是(2,),则过点P且平行极轴的直线方程是(  )

Aρ=1

Bρ=sinθ

Cρ=-

Dρ=

正确答案

D

解析

解:把点P的极坐标(2,)化为直角坐标为(,1),

故过点P且平行极轴的直线方程是y=1,

化为极坐标方程为 ρsinθ=1,

故选:D.

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题型:简答题
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简答题

设过原点O的直线与圆C:(x-1)2+y2=1的一个交点为P,点M为线段OP的中点.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.

正确答案

解:(1)圆(x-1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ.(4分)

(2)设点P的极坐标为(ρ1,θ1),点M的极坐标为(ρ,θ),

∵点M为线段OP的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ.(7分)

将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cosθ.

∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ,

它表示圆心在点,半径为的圆.(10分)

解析

解:(1)圆(x-1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ.(4分)

(2)设点P的极坐标为(ρ1,θ1),点M的极坐标为(ρ,θ),

∵点M为线段OP的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ.(7分)

将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cosθ.

∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ,

它表示圆心在点,半径为的圆.(10分)

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题型:填空题
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填空题

曲线ρ2(2-cos2θ)=1的焦点的极坐标为______

正确答案

解析

解:曲线ρ2(2-cos2θ)=1即:

22(cos2θ-sin2θ)=1,

化成极坐标方程为:2(x2+y2)-x2+y2=1,

即:x2+3y2=1,⇒

此椭圆的焦点坐标为:

极坐标为

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线c1的参数方程为(α为参数),直线l的极坐标方程为θ=

(1)求曲线c1与直线l的直角坐标方程.

(2)若直线l与曲线c1交于两点A、B,求|AB|.

正确答案

解:(1)曲线c1的参数方程为(α为参数),由cos2α+sin2α=1,可得:曲线C1的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-2)2=4;

直线l的极坐标方程为θ=,可的直线的倾斜角为.又经过原点,∴曲线C2的直角坐标方程为:y=x.

(2)∵圆心(1,2)到直线y=x的距离d=

∴|AB|=2=

解析

解:(1)曲线c1的参数方程为(α为参数),由cos2α+sin2α=1,可得:曲线C1的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-2)2=4;

直线l的极坐标方程为θ=,可的直线的倾斜角为.又经过原点,∴曲线C2的直角坐标方程为:y=x.

(2)∵圆心(1,2)到直线y=x的距离d=

∴|AB|=2=

下一知识点 : 简单曲线的极坐标方程
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