极坐标系_章节学习

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题型：单选题

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单选题

在极坐标系中与圆ρ=4sin（θ+）相切的一条直线的方程为（　　）

Aρsin（θ-）=4

Bρsinθ=4

Cρcosθ=4

Dρcos（θ-）=4

正确答案

D

解析

解：圆ρ=4sin（θ+）即 ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，

化为直角坐标方程为 +=4，表示以（，）为圆心，半径等于2的圆．

而 ρsin（θ-）=4，即x-y+8=0，圆心（，）到直线的距离为=4，大于半径，

故此直线和圆相离，故排除A．

由于ρsinθ=4 即 y=4 显然它和圆相离，故排除B．

由于ρcosθ=4即 x=4，显然它和圆相离，故排除C．

由于ρcos（θ-）=4，即x+y-8=0，圆心（，）到直线的距离为=2，正好等于半径，

故直线和圆相切，故满足条件．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

在极坐标系中，与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程是（　　）

Aρ=sin（+θ）+1

Bρ=sin（-θ）+1

Cρ=sin（+θ）+1

Dρ=sin（-θ）+1

正确答案

C

解析

解：由θ=，得tanθ=，即，得对称轴方程为．

在方程ρ=cosθ+1中，取θ=，则，

由，得点（，1）的直角坐标为（0，1），

则过点（0，1）且与直线垂直的直线的直角坐标方程为，

从而此两直线的交点坐标为，

由中点公式，得点（0，1）关于直线对称的点为，

设其极坐标为（ρ0，θ0），则，取，

又，得点，

此点必在曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=（ρ∈R）对称的曲线上，

在四个选项中，只有选项C中的方程满足．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标中，已知直线l方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，点Q的坐标为（2，），则点Q到l的距离d为______．

正确答案

解析

解：直线l方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，化直角坐标方程x+y=1．

点Q的坐标为（2，），化为=1，yQ==．∴Q．

∴点Q到l的距离d==．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程是______

（Ⅱ）设l与圆ρ=2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积是______．

正确答案

（t为参数），

2

解析

解：（Ⅰ）设直线l上任意一点Q（x，y）

∵直线l经过点P（1，1），倾斜角．

∴直线的斜率为k==

设x-1=t，则y-1=t

∴（t为参数），即为直线l的参数方程．

（Ⅱ）圆ρ=2化成直角坐标方程：x2+y2=4

将x=t+1，则y=t+1代入，得：（t+1）2+（t+1）2=4

∴2t2+（+1）t-1=0…（*）

∵l与圆ρ=2相交与两点A、B

∴A（t1+1，t1+1），B（t2+1，t2+1），其中t1、t2是方程（*）的两个实数根．

由根与系数的关系，得

P到A、B两点的距离分别为：

，

∴点P到A、B两点的距离之积为PA•PB=4|t1t2|=2

故答案为：（t为参数），2

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题型：填空题

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填空题

（2015春•睢宁县校级月考）把点P的极坐标（4，π）化为直角坐标为______．

正确答案

解析

解：=-2，y==2．

∴直角坐标为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•天津校级月考）圆C：ρ=-4sinθ上的动点P到直线l：ρsin（θ+）=的最短距离为______．

正确答案

2-2

解析

解：圆C：ρ=-4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，化为x2+y2=-4y，配方为x2+（y+2）2=4，可得圆心C（0，-2），半径r=2．

到直线l：ρsin（θ+）=化为=，化为x+y-2=0．

∴圆心C到直线l的距离d==2，

∴圆C上的动点P到直线l的最短距离=d-r=2-2．

故答案为：2-2．

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题型：单选题

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单选题

已知点P的极坐标是（2，），则过点P且平行极轴的直线方程是（　　）

Aρ=1

Bρ=sinθ

Cρ=-

Dρ=

正确答案

D

解析

解：把点P的极坐标（2，）化为直角坐标为（，1），

故过点P且平行极轴的直线方程是y=1，

化为极坐标方程为 ρsinθ=1，

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

设过原点O的直线与圆C：（x-1）2+y2=1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．

正确答案

解：（1）圆（x-1）2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ．（4分）

（2）设点P的极坐标为（ρ1，θ1），点M的极坐标为（ρ，θ），

∵点M为线段OP的中点，∴ρ1=2ρ，θ1=θ．（7分）

将ρ1=2ρ，θ1=θ代入圆的极坐标方程，得ρ=cosθ．

∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ，

它表示圆心在点，半径为的圆．（10分）

解析

解：（1）圆（x-1）2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ．（4分）

（2）设点P的极坐标为（ρ1，θ1），点M的极坐标为（ρ，θ），

∵点M为线段OP的中点，∴ρ1=2ρ，θ1=θ．（7分）

将ρ1=2ρ，θ1=θ代入圆的极坐标方程，得ρ=cosθ．

∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ，

它表示圆心在点，半径为的圆．（10分）

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题型：填空题

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填空题

曲线ρ2（2-cos2θ）=1的焦点的极坐标为______．

正确答案

、

解析

解：曲线ρ2（2-cos2θ）=1即：

2ρ2-ρ2（cos2θ-sin2θ）=1，

化成极坐标方程为：2（x2+y2）-x2+y2=1，

即：x2+3y2=1，⇒，

此椭圆的焦点坐标为：、，

极坐标为、．

故答案为：、．

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题型：简答题

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简答题

以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线c1的参数方程为（α为参数），直线l的极坐标方程为θ=．

（1）求曲线c1与直线l的直角坐标方程．

（2）若直线l与曲线c1交于两点A、B，求|AB|．

正确答案

解：（1）曲线c1的参数方程为（α为参数），由cos2α+sin2α=1，可得：曲线C1的直角坐标方程为：（x-1）2+（y-2）2=4；

直线l的极坐标方程为θ=，可的直线的倾斜角为．又经过原点，∴曲线C2的直角坐标方程为：y=x．

（2）∵圆心（1，2）到直线y=x的距离d=，

∴|AB|=2=．

解析

解：（1）曲线c1的参数方程为（α为参数），由cos2α+sin2α=1，可得：曲线C1的直角坐标方程为：（x-1）2+（y-2）2=4；

直线l的极坐标方程为θ=，可的直线的倾斜角为．又经过原点，∴曲线C2的直角坐标方程为：y=x．

（2）∵圆心（1，2）到直线y=x的距离d=，

∴|AB|=2=．

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