极坐标系_章节学习

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题型：单选题

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单选题

直线θ=α与ρcos（θ-α）=1的位置关系是（　　）

A平行

B垂直

C相交不垂直

D与α有关，不确定

正确答案

B

解析

解：在直角坐标系中，直线θ=α即射线y=tanα x，斜率为 tanα．

ρcos（θ-α）=1即 cosαx+sinαy=1，斜率为 =-cotα，

由于 tanα×（-cotα ）=-1，

故直线θ=α与ρcos（θ-α）=1的位置关系是垂直，

故选B．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，已知直线ρ（sinθ+cosθ）=a过圆ρ=2cosθ的圆心，则a=______．

正确答案

1

解析

解：直线ρ（sinθ+cosθ）=a可化为x+y-a=0，

圆ρ=2cosθ可化为x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1，圆心为（1，0），

又∵直线ρ（sinθ+cosθ）=a过圆ρ=2cosθ的圆心，

∴1+0-a=0，

∴a=1．

故答案为：1

1

题型：填空题

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填空题

（本小题有两个小题供选做，考生只能在①、②题中选做一题！多做不给分）

①PT切⊙O于点T，PAB、PCD是割线，AB=35cm，CD=50cm，AC：DB=1：2，则PT=______

②已知A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）则AB=______．

正确答案

60 cm

．

解析

解：①设PA=x，∵∠PAC=∠D，∴△PAC∽△PDB，∴=．

∵AC：DB=1：2，∴PD=2PA，∴由切割线定理得，PA•PB=PC•PD，即x（x+35）=2x（2x-35），解得x=45．

再由切割线定理可得 PT===60，

故答案为：60．

②已知A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2 ），在△AOB中，OA=ρ1，OB=ρ2，∠AOB=|θ1-θ2|+2kπ，k∈z．由余弦定理可得

AB===．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

（1）选修4-4：矩阵与变换

已知曲线C1：y=绕原点逆时针旋转45°后可得到曲线C2：y2-x2=2，

（I）求由曲线C1变换到曲线C2对应的矩阵M1；

（II）若矩阵，求曲线C1依次经过矩阵M1，M2对应的变换T1，T2变换后得到的曲线方程．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：（θ为参数）上求一点，使它到直线l的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

（3）（选修4-5：不等式选讲）

将12cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，

（I）求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；

（II）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值．

正确答案

解：（1）（I）∵曲线C1：y=绕原点逆时针旋转45°后得到曲线C2：y2-x2=2，∴旋转变换矩阵=；

（II）设依次经过矩阵M1，M2对应的变换T1，T2对应的矩阵

任取曲线C1：y=上的一点P（x，y），它在变换TM作用下变成点P′（x′，y′），则有，即，∴

又因为点P在C1：y=上，得到=1即=1．

（2）∵直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0，∴直角坐标方程是x+y-1=0

设所求的点为P（-1+cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d=|

当θ+，k∈Z时，即θ=2kπ+，k∈Z，d的最小值为-1

（3）（I）由已知得，a+b+c=12，∴=64；

当且仅当a=b=c=4时，等号成立．

（II）设三个正三角形的边长分别为l，m，n，则l+m+n=4

∴这三个正三角形面积和为S=

∴3S=≥

∴S≥

当且仅当a=b=c=1时，等号成立．

解析

解：（1）（I）∵曲线C1：y=绕原点逆时针旋转45°后得到曲线C2：y2-x2=2，∴旋转变换矩阵=；

（II）设依次经过矩阵M1，M2对应的变换T1，T2对应的矩阵

任取曲线C1：y=上的一点P（x，y），它在变换TM作用下变成点P′（x′，y′），则有，即，∴

又因为点P在C1：y=上，得到=1即=1．

（2）∵直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0，∴直角坐标方程是x+y-1=0

设所求的点为P（-1+cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d=|

当θ+，k∈Z时，即θ=2kπ+，k∈Z，d的最小值为-1

（3）（I）由已知得，a+b+c=12，∴=64；

当且仅当a=b=c=4时，等号成立．

（II）设三个正三角形的边长分别为l，m，n，则l+m+n=4

∴这三个正三角形面积和为S=

∴3S=≥

∴S≥

当且仅当a=b=c=1时，等号成立．

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题型：简答题

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简答题

过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线与P、Q，

（1）以F点做极点FX为极轴，求该抛物线的极坐标方程．

（2）若线段PF与QF的长分别为m，n，求的值．

正确答案

解：（1）设∠PFX=θ，P（ρ，θ），如图，由抛物线的定义可得PF=PS+SH=PH，即ρ=ρcosθ+p

∴

（2）由抛物线的极坐标方程，得，

m=，n==，

∴=+=．

解析

解：（1）设∠PFX=θ，P（ρ，θ），如图，由抛物线的定义可得PF=PS+SH=PH，即ρ=ρcosθ+p

∴

（2）由抛物线的极坐标方程，得，

m=，n==，

∴=+=．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=1，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ）则曲线C1与C2交点的极坐标为______．

正确答案

解析

解：由曲线C1的极坐标方程ρcosθ=1，可得x=1．

曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ）可得ρ2=4ρcosθ，即可得到x2+y2=4x．

联立，0≤θ，解得，即交点．

∴，，θ≥0，取．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标中，直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为______．

正确答案

解析

解：将直线2ρcosθ=1化为普通方程为：2x=1．

∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1．

联立得解得，

∴直线与圆相交的弦长==．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，曲线ρ=2acosθ（a＞0）被直线ρcosθ=（a＞0）所截的弦长为______．

正确答案

a

解析

解：曲线ρ=2acosθ（a＞0）即 ρ2=2aρcosθ，化为直角坐标方程可得（x-a）2+y2=a2．

直线ρcosθ=（a＞0）即 x=，把x=代入曲线方程求得y=±a，∴弦长为 a，

故答案为：a．

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题型：简答题

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简答题

平面直角坐标系中，将曲线（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C2的方程为ρ=4sinθ，求C1和C2公共弦的长度．

正确答案

解：曲线（α为参数）上的每一点纵坐标不变，

横坐标变为原来的一半得到，然后整个图象向右平移1个单位得到，

最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到，所以，C1为；（x-1）2+y2=4，

又C2为ρ=4sinθ，即x2+y2=4y，所以，C1和C2公共弦所在直线为2x-4y+3=0，

所以，（1，0）到2x-4y+3=0距离为，所以，公共弦长为．

解析

解：曲线（α为参数）上的每一点纵坐标不变，

横坐标变为原来的一半得到，然后整个图象向右平移1个单位得到，

最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到，所以，C1为；（x-1）2+y2=4，

又C2为ρ=4sinθ，即x2+y2=4y，所以，C1和C2公共弦所在直线为2x-4y+3=0，

所以，（1，0）到2x-4y+3=0距离为，所以，公共弦长为．

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题型：填空题

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填空题

将曲线方程ρ=cos（θ-）化成直角坐标方程：______．

正确答案

+=

解析

解：曲线方程ρ=cos（θ-），即 ρ2=ρcosθ+ρsinθ，

化为直角坐标方程为 +=，

故答案为：+=．

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