椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：填空题

填空题

与双曲线-=1有共同的渐近线，且经过点A(-3，2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是______．

正确答案

设双曲线-=1有共同的渐近线的双曲线方程为-=λ

∵双曲线经过点A(-3，2)，

∴λ=-=-

∴与双曲线-=1有共同的渐近线的双曲线方程为-=1

其右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为4x-3y=0

∴焦点到一条渐近线的距离是=2

故答案为 2

题型：填空题

填空题

已知双曲线的一个焦点F1（0，5），且过点（0，4），则该双曲线的标准方程是______．

正确答案

由题得：双曲线的焦点在Y轴上，且c=5，a=4；

∴b2=c2-a2=9．

∴该双曲线的标准方程是：-=1．

故答案为 -=1．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为______．

正确答案

由题意知，AB=2c，又△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，

∴AC=2c，∵双曲线以A，B为焦点且过点C，由双曲线的定义知，

AC-BC=2a，即：2c-2c=2a，

∴=，即：双曲线的离心率为．

故答案为．

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线方程为______．

正确答案

抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为直线x=-2

∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F

∴双曲线的右焦点坐标为F（2，0），

∴双曲线的左焦点坐标为F′（-2，0）

∵|PF|=5

∴点P的横坐标为3

代入抛物线y2=8x，y=±2

不妨设P（3，2）

∴根据双曲线的定义，|PF'|-|PF|=2a 得出- =2a

∴a=1，

∵c=2

∴b=

∴双曲线方程为x2-=1

故答案为：x2-=1

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；

（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。

正确答案

解：（1）双曲线C1：左顶点A（-），渐近线方程为：y=±x

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所

以，解得

所以所求三角形的面积为S=。

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，

由，得x2-2bx-b2-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

又y1y2=（x1+b）（x2+b）

所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（-1-b2）+2b2+b2=b2-2=0

故PO⊥OQ。

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，

则O到直线MN的距离为

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），

则直线OM的方程为y=，

由得，

所以

同理，

设O到直线OM的距离为d，

因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以==3，即d=

综上，O到直线MN的距离是定值。

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