椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0），A1、A2是双曲线的左右顶点，M（x0，y0）是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是，

（1）求双曲线的离心率；

（2）若该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，求双曲线的方程．

正确答案

解；（1）因为M（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上一点，

则-=1，得到=，故=，

又A1（-a，0），A2（a，0），

则kMA1-kMA2=-===，

及=e2-1=，解之得e=；

（2）取右焦点F（c，0），一条渐近线y=x，即bx-ay=0，

由于该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，则有==b=12，

由（1）知=，∴a=5，

故双曲线的方程是-=1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，-b）两点，原点O到直线l的距离是．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=-23，求直线m的方程．

正确答案

（1）依题意，l方程+=1，即bx-ay-ab=0，由原点O到l的距离为，得

==，又e==，

∴b=1，a=．

故所求双曲线方程为-y2=1．

（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx-1，

则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，

消去y，得（1-3k2）x2+6kx-6=0．①

依题意，1-3k2≠0，由根与系数关系，

知x1+x2=，x1x2=

•=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1-1）（kx2-1）

=（1+k2）x1x2-k（x1+x2）+1

=-+1=+1．

又∵•=-23，

∴+1=-23，k=±，

当k=±时，方程①有两个不相等的实数根，

∴方程为y=x-1或y=-x-1．

题型：简答题

简答题

求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（3，-2），一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程．

正确答案

渐近线方程为y=±x，

设双曲线方程为x2-3y2=λ，

将点（3，-2）代入求得λ=-3，

所以双曲线方程为y2-x2=1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C：-=1 （a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为2．

（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆 x2+y2=5上，求m的值．

正确答案

（1）∵e==，

∴c=a，

∵2b=2，

∴b=，

∵c2-a2=2，

∴a=1，

∴所求双曲线方程为 x2-=1；

（2）由，

消y得 x2-2mx-m2-2=0，

△=4m2+4（m2+2）=8（m2+1）＞0，

x1+x2=2m，

∴AB中点（m，2m），

代入圆方程得m2+4m2=5，

∴m=±1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线c：-y2=1，设直线l过点A(-3，0)，

（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；

（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．

正确答案

（1）双曲线C的渐近线m：±y=0，

即x±y=0∴

直线l的方程x±y+3=0

∴直线l与m的距离d==．

（2）设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0，

则直线l与b的距离d=，

当k＞时，d＞．

又双曲线C的渐近线为x±y=0，

∴双曲线C的右支在直线b的右下方，

∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．

故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．

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