热门试卷

解（I）根据题意a2=4，即a=2，

又，a2+b2=c2，||PF1|-|PF2||=2a=4，

又|PF1|•|PF2|=|F1F2|2=4c2，|PF2|＜4，得

|PF2|2+4|PF2|-4c2=0在区间（0，4）上有解，即4c2=|PF2|2+4|PF2|有解

又|PF2|＜4，故|PF2|2+4|PF2|＜32

所以c2＜8

因此b2＜4，又b∈N*，

所以b=1

（II）双曲线方程为-y2=1，

右顶点坐标为（2，0），即F（2，0）

所以抛物线方程为y2=8x （1）

直线方程为y=x-2 （2）

由（1）（2）两式联立，

解得和

所以弦长|AB|==16=16

设P为界线上的任意一点，则有PA+MA=PB+MB，即PA-PB=MB-MA=2（定值），

∴界线为以A，B为焦点的双曲线的右支

如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，

设所求双曲线的标准方程为-=1=1（a＞0，b＞0）

∵2a=2，2c=AB==10，可得a=1，c=5，b==2

∴双曲线方程为x2-=1，

∵P为以曲线右支上一点，且|AD|≤|BC|，可得x＞0

即所求界线的方程为x2-=1，（x＞0）．

（1）在双曲线C：-y2=1，把1换成0，

所求渐近线方程为y-x=0， y+x=0

（2）设P的坐标为（x0，y0），则Q的坐标为（-x0，-y0），

λ=•=(x0，y0-1)•(-x0，-yo-1)=--+1=-+2.

∵|x0|≥

∴λ的取值范围是（-∞，-1]．

（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，

则直线l的斜率k∈(0，).

由计算可得，当k∈(0，]时，s(k)=；

当k∈(，)时，s(k)=.

∴s表示为直线l的斜率k的函数是s(k)=

（1）联立方程ax+1=y与3x2-y2=1，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0（*）

又直线与双曲线相交于A，B两点，3-a2≠0，所以a≠±，∴△＞0⇒-＜a＜．

又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=-x1x2．

且y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2x1x2+a（x1+x2）+1=-x1x2⇒x1x2（1+a2）+a（x1+x2）+1=0，而由方程（*）知：x1+x2=，x1x2=代入上式得-++1=0⇒a2=1⇒a=±1．满足条件．

（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中点(，)在y=x上，则y1+y2=(x1+x2)，

又y1+y2=a（x1+x2）+2，

代入上式知⇒a=6这与a=-2矛盾．

故这样的实数a不存在．