热门试卷

解：（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，﹣2n），设P（x，y）

由=λ，得

，

故P点的坐标为（，），

将P点的坐标代入x2﹣=1，化简得，mn=．

（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=．

又|OA|=m，|OB|=，

所以S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn==，

记S（λ）=，λ∈[，3]）．

则S（λ）在λ∈[，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．

所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值．

所以△AOB面积的取值范围是[2，]．

（1）设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为（x，y），S（x0，y0），T（x0，-y0）

由A1、H、S三点共线，得：(x0+)y=y0(x+)…③

由A2、H、T三点共线，得：(x0-)y=-y0(x-)…④

联立③、④，解得x0=，y0=．

∵S（x0，y0）在双曲线上，

∴-()2=1．

∴轨迹E的方程为：+y2=1(x≠0，y≠0)．

（2）由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，

M（，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得（x1+x2）+2（y1+y2）•=0，

则1+4mk=0，得：k=-．

此时，直线PQ斜率为k1=4m，PQ的直线方程为：y-m=4m(x-)．

代入椭圆方程消去y，整理得（32m2+1）x2-16m2x+2m2-2=0．

又设P（x3，y3），Q（x4，y4），

则：x3+x4=，x3x4=．

∴•=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-（x3+x4）+1+（4mx3-m）（4mx4-m）

=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)-(4m2+1)+m2+1

=

令t=1+32m2，

∵点M(，m)在椭圆内，∴+m2＜1，

又∵m≠0，

∴0＜m2＜，∴1＜t＜29，

则•=--∈(-1，-)．

∴，•的取值范围为(-1，-)

（1）把交点M(，)代入抛物线C1：y2=2px得=2p×，解得p=2，∴抛物线C1的方程是y2=4x．

（2）∵抛物线y2=4x的准线方程是x=-1，

∴双曲线C2：-=1的左焦点是（-1，0）．

设双曲线C2的方程为-=1，

把交点M(，)代入，得-=1，整理得9a4-37a2+4=0．

解得a2=，或a2=4（舍去）．

∴b2=1-=．

∴双曲线C2的方程是-=1．

由已知，得-=1

∴实轴长为，虚轴长为4，

焦点坐标为（±，0）

顶点坐标为（±，0）

离心率为

渐进方程为y=±x