椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

双曲线-=1（a＞0，b＞0），过焦点F1的弦AB（A、B在双曲线的同支上）长为m，另一焦点为F2，求△ABF2的周长．

正确答案

∵|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|AF1|=2a，…（2分）

∴（|AF2|-|AF1|）+（|BF2|-|BF1|）=4a，…（4分）

又|AF1|+|BF1|=|AB|=m，

∴|AF2|+|BF2|=4a+（|AF1|+|BF1|）=4a+m．…（6分）

∴△ABF2的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m．…（8分）

题型：简答题

简答题

双曲线E经过点P（-4，6），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=2．

（Ⅰ）求双曲线E的方程；

（Ⅱ）求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．

正确答案

依题意，可设双曲线方程为-=1，（a＞0，b＞0），c2=a2+b2（c＞0）

（Ⅰ）∵双曲线E经过点P（-4，6），离心率e=2，

∴-=1，=4

∴a2=4，b2=12

∴E的方程为-=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c=4，设F1（-4，0），F2（4，0），

∵P（-4，6），∴PF1⊥x轴

设∠F1PF2的角平分线交x轴于点M（m，0）

由角平分线的性质可知=，即=，∴m=1

∴M（1，0）

故所求直线方程为y=（x-1），即6x+5y-6=0．

题型：简答题

简答题

求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）已知双曲线的焦点F1，F2在x轴上，离心率为，且过点(4，-；

（2）与双曲线-=1有共同的渐近线，且经过点M(-3，2)．

正确答案

（1）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），则

∵双曲线的离心率为，且过点(4，-，

∴

∴a2=b2=6

∴双曲线方程为-=1；

（2）设双曲线方程为-=λ，代入点M(-3，2)，可得-=λ

∴λ=，∴双曲线方程为-=

即-=1．

题型：简答题

简答题

F1，F2为双曲线-=1的左右焦点，过 F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程．

正确答案

在Rt△PF2F1中，设|PF1|=d1，|PF2|=d2，∵∠PF1F2=30°

∴∴d2=2a

∵|F2F1|=2c

∴tan30°=

∴=，即=

∴(

)2=2

∴=

∴双曲线的渐近线方程为y=±x

题型：简答题

简答题

已知椭圆与双曲线x2-=1有公共的焦点，且椭圆过点P（0，2）．

（1）求椭圆方程的标准方程；

（2）若直线l与双曲线的渐近线平行，且与椭圆相切，求直线l的方程．

正确答案

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．

双曲线x2-=1的焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），

∴椭圆焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），∴c=2，即a2=b2+4，

又椭圆过点P（0，2），则0+=1，

∴b2=4，得a2=8，

∴所求椭圆方程的标准方程为+=1；

（2）双曲线渐近线方程：y=±x，

设直线l：y=±x+m，

代入椭圆方程得：7x2±4mx+2m2-8=0，

由相切得：△=48m2-28（2m2-8）=0，解得m=±2

∴直线l的方程是：y=±x±2．

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