椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

求与双曲线x2-4y2=4有共同的渐近线，并且经过点(2，)的双曲线方程．

正确答案

设与双曲线x2-4y2=4有共同的渐近线的双曲线的方程为x2-4y2=λ，

∵该双曲线经过点（2，），

∴λ=4-4×5=-16．

∴所求的双曲线方程为：x2-4y2=-16，

整理得：-=1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长是虚轴长的3倍，且过点(3，1)，求双曲线的标准方程及离心率．

正确答案

∵中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，过点实轴长是虚轴长的3倍且实轴长是虚轴长的3倍，

∴，

解得a=3，b=1，c=

∴双曲线C的标准方程为 -y2=1，

离心率e==．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A（2，0），一条渐近线为y=x，过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q．

（I）求双曲线的方程及k的取值范围；

（II）是否存在常数k，使得向量+与垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

正确答案

（I）由题意，a=2，=，∴b=1

∴双曲线的方程为-y2=1

设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k2-1）x2+16kx+20=0

∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q

∴4k2-1≠0且△=256k2-80（4k2-1）＞0，即k2≠且k2＜

解得-＜k＜且k≠±；

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，

∵+=（x1+x2，y1+y2），=（-2，2），+与垂直

∴-2（x1+x2）+2（y1+y2）=0

∴（x1+x2）（k-1）+4=0

∴+4=0

∴k=

∴存在常数k=，使得向量+与垂直．

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1的右焦点到右准线的距离等于焦距的，则离心率为______．

正确答案

设-=1的右焦点为F（c，0），

∵双曲线-=1的右焦点F（c，0）到右准线l：x=的距离等于焦距2c的，

∴c-=×2c，

∴=3．

∴其离心率e==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

分别求适合下列条件圆锥曲线的标准方程：

（1）焦点为F1（0，-1）、F2（0，1）且过点M(，1)椭圆；

（2）与双曲线x2-=1有相同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线．

正确答案

（1）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0）．

∵c=1，

∴a2-b2=1①，

∵点(，1)在椭圆E上，

∴+=1②，

由①、②得：a2=4，b2=3，

∴椭圆E的方程为：+=1．

（2）：由题意可设所求的双曲线方程为：x2-=λ，（λ≠0）

把点（2，2）代入方程可得λ=2，

故所求的双曲线的方程是x2-=2，

化为标准方程即得 -=1．

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