热门试卷

（1）当k=-1，函数y=cos2（-x）-sin2（-x）=cos2x，最小正周期也为π，是个假命题；

（2）直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互平行，

根据两条线平行的充要条件=≠，得到a=3，这是一个真命题；

（3）函数 y==+≥2，

等号不能成立，y不能取到最小值2，故（3）错；

（4）双曲线-y2=1的两条渐近线是y=±正确，（4）对．

综上可知假命题有（1）（3），

故答案为：（1）（3）．

①由题意可知点（2，4）在抛物线y2=8x上

故过点（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是

i）过点（2，4）且与抛物线y2=8x相切；ii）过点（2，4）且平行与对称轴．①故正确；

②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，

若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．

故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1）

代入抛物线y2=4x得，k2x2-2（k2+2）x+k2=0

∵A、B两点的横坐标之和等于5，

∴=5，k2=，则这样的直线有且仅有两条，故②正确；

③由题意可得：双曲线x2-y2=3的渐近线方程为：y=±x，

所以点（3，1）不是双曲线渐近线上的一点，

所以过点 （3，1）且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条，其中两条是过点 （3，1）并且与双曲线相切的直线，另两条过点 （3，1）且平行于渐近线x+y=0的直线．故③错；

④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，

∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，

当直线与实轴垂直时，

有3-=1，∴y=2，

∴直线AB的长度是4，

综上可知有三条直线满足|AB|=4，故④正确；

⑤设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时有 得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0 （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，

∴k＜设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∴x1+x2=又B（1，1）为线段AB的中点

∴=1 即 =1，∴k=2

当k=2，使2-k2≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在．故⑤错．

故答案为：①②④．

设M（x，y），由A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0），

则kAM=（x≠-a），kBM=（x≠a），

由kAM•kBM=k，得：•=k，即kx2-y2=ka2①．

（1）若k=（a，b∈R+），则方程①化为-=1，点M的轨迹是双曲线除去两个顶点，

∴命题（1）不正确；

（2）若k=-（a，b∈R+），则方程①化为+=1，点M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点，

∴命题（2）正确；

（3）在（1）条件下，点p（x0，y0）（x0＜0）是曲线上的点，说明点P在双曲线-=1的左支上，

F1，F2是双曲线的左右焦点，则由|PF1|=|PF2|及|PF2|-|PF1|=2a求得|PF1|=a，|PF2|=a，

又|PF1|+|PF2|=a+a≥2c，∴≤，又e＞1，∴（1）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围（1，]．

∴命题（3）正确；

（4）在（2）的条件下，由满足•=0的点M总在曲线的内部，说明满足MF1⊥MF2的点M在曲线内部，若点M在曲线上，则|MF1|2+|MF2|2＞4c2，取M为椭圆短轴的一个端点，则|MF1|=|MF2|=a，所以2a2＞4c2，

则＜．∴命题（4）错误．

所以，正确的命题是②③．

故答案为②③．