- 椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率、渐近线)
- 共1174题
已知双曲线过(3,-2),且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,求双曲线方程.
正确答案
由4x2+9y2=36,得 +
=1,则c2=9-4=5,所以c=
.
所以椭圆的焦点为F1(-,0),F2(
,0).
因为双曲线与椭圆有相同的焦点,所以可设双曲线方程为 -
=1.
因为双曲线过点(3,-2),所以 -
=1①
又a2+b2=5②,联立①②,解得:a2=3或a2=15(舍),b2=2.
所以双曲线的标准方程为 -
=1.
已知椭圆+
=1与双曲线
-
=1在第一象限的交点为P,则点P到椭圆左焦点的距离为______.
正确答案
设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,由题意,椭圆、双曲线共焦点,则
|PF1|+|PF2|=10,|PF1|-|PF2|=2
∴|PF1|=5+
故答案为:5+.
设直线2x-y+1=0与椭圆+
=1相交于A、B两点.
(1)线段AB中点M的坐标及线段AB的长;
(2)已知椭圆具有性质:设A、B是椭圆+
=1上的任意两点,M是线段AB的中点,若直线AB、OM的斜率都存在,并记为kAB,kOM,则kAB⋅kOM为定值.试对双曲线
-
=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.
正确答案
(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则⇒
x2+x-
=0⇒
(2分)
所以M(-,
)
|AB|=| x1-x2|=
=
(2)设A、B是双曲线-
=1上的任意两点,M是线段AB的中点,若直线AB、OM的斜率都存在,并记为kAB,kOM,则kAB⋅kOM为定值.
证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2),分别代入双曲线-
=1,再相减后可得:
(x1+x2)(x1-x2)-
(y1+y2)(y1-y2)=0
设M(x0,y0),则,代入上式可得
=
×
即kAB⋅kOM=
∴定值为
已知双曲线与椭圆+
=1共焦点,它们的离心率之和为
(1)求双曲线的焦点坐标;
(2)求双曲线的方程,写出渐近线方程和顶点坐标.
正确答案
(1)∵c==4,∴椭圆
+
=1的焦点为(±4,0),即双曲线的焦点为(±4,0).
(2)设要求的双曲线方程为-
=1,又椭圆与双曲线的离心率之和为
,
∴+
=
,解得a=2,∴b=
=2
,
∴双曲线的方程为-
=1,
渐近线方程为y=±x,
顶点坐标为(±2,0).
(1)已知椭圆+
=1的离心率e=
,求m的值;
(2)若双曲线-
=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
,求该双曲线的离心率.
正确答案
(1)①若焦点在x轴上,则有,解之得m=3;
②若焦点在y轴上,则有,解之得m=
.
∴综上所述,m的值为3或.
(2)∵双曲线-
=1(a>0,b>0)的渐近线的方程为y=±
x,即bx±ay=0
∴一个焦点到一条渐近线的距离为:=
×2c,得b=
c,
两边平方,得b2=c2-a2=c2,即a2=
c2,
∴a=c,可得离心率e=
=
.
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