椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：填空题

填空题

若椭圆和双曲线有相同焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个公共点，并且•=0，e1，e2分别为它们的离心率，则+的值是______．

正确答案

由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上

由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m ①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②

又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2 ③

①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④

-①2+②2得|PF1||PF2|=a2-m2⑤

将④⑤代入③得a2+m2=c2，即 +=1，即 +=2

故答案为2

题型：填空题

填空题

设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（，4），则此双曲线的标准方程是______．

正确答案

由题意可知椭圆+=1的焦点在y轴上，

且c2=36-27=9，故焦点坐标为（0，±3）

由双曲线的定义可得2a=|-|=4，

故a=2，b2=32-22=5，故所求双曲线的标准方程为-=1

故答案为：-=1

题型：填空题

填空题

已知命题：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（-c，0）和C（c，0），顶点B在椭圆+=1(a＞b＞0，c=)上，椭圆的离心率是e，则=，类比上述命题有：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（-c，0）和C（c，0），顶点B在双曲线-=1(a＞0，b＞0，c=)上，双曲线的离心率是e，则______．

正确答案

∵根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提，

平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A（-c，0）和C（c，0），

顶点B在双曲线-=1(a＞0，b＞0，c=)上，

双曲线的离心率是e

后面的关于离心率的结果要计算出

∵===

∴由正弦定理可以得到=，

故答案为：=．

题型：填空题

填空题

已知P为椭圆+y2=1和双曲线x2-=1的一个交点，F1，F2为椭圆的焦点，那么∠F1PF2的余弦值为______．

正确答案

∵椭圆+y2=1，∴椭圆中c=，

∵双曲线x2-=1，∴双曲线中c=，∴椭圆与双曲线共焦点，

∵P为椭圆+y2=1和双曲线x2-=1的一个交点，不妨设P点在双曲线右支上，

∴|PF1|+|PF2|=4，|PF1|-|PF2|=2，∴∴|PF1|=3，∴|PF2|=1，|F1F2|=2

在△F1PF2中，cos∠F1PF2==-

故答案为-

题型：填空题

填空题

已知椭圆+=1和双曲线-=1有公共的焦点，那么双曲线的渐进线方程是______．

正确答案

由题意3m2-5n2=2m2+3n2，∴m2=8n2

∵双曲线-=1的渐进线方程为-=0

∴双曲线的渐进线方程是y=±x

故答案为y=±x

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