椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

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题型：填空题

填空题

若双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

解根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a，即3|PF2|-|PF2|=2a．

∴a=|PF2|．|PF1|=3a

在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，

2c＜4|PF2||，c＜2|PF2|=2a，

∴＜2，

当p为双曲线顶点时，=2

又∵双曲线e＞1，

∴1＜e≤2

故答案为：1＜e≤2．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的焦距为______

正确答案

依题意得c2=a2+b2=9+5=14，

∴c=，

∴该双曲线的焦距为2．

故答案为2．

题型：填空题

填空题

若双曲线-y2=1的左右焦点分别为F1，F2，A是双曲线左支上的一点，且|AF1|=5，那么|AF2|=______．

正确答案

双曲线-y2=1中，a=3，b=1，

由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a=6，

∴|AF2|=|AF1|+6=11，

故答案为11．

题型：填空题

填空题

已知P是双曲线；x2-=1右支上的任意一点，F是双曲线的右焦点，定点A的坐标为(3，)，则|PF|+|PA|的最小值为______．

正确答案

由题意得右焦点F（2，0），左焦点为 F′（-2，0），

由双曲线的定义可得|PF′|-|PF|=2a=2，

|PF|+|PA|=|PF′|-2+|PA|≥|AF′|-2=-2=2-2，

故答案为2-2．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM•kPN的值．

正确答案

（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，

有：

解得a2=1，b2=3．

∴双曲线方程为x2-=1．

（Ⅱ）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（-x0，-y0）．

设P（xP，yP），

则kPM•kPN=•=，

又x02-=1，

∴y02=3x02-3．

同理yP2=3xP2-3，

∴kPM•kPN==3．

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