椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

已知双曲线C的方程为：-=1

（1）求双曲线C的离心率；

（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（-3，2）的双曲线的方程．

正确答案

（1）由题意知a2=9，b2=16，

所以c2=a2+b2=25，

则a=3，c=5，

所以该双曲线的离心率e==．

（2）根据题意，则可设双曲线的标准方程为 -=λ，（λ≠0）；

又因为双曲线经过点A（-3，2）

代入方程可得，λ=；

故这条双曲线的方程为 -=1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线与椭圆+=1有共同的焦点，且以y=±x为渐近线．

（1）求双曲线方程．

（2）求双曲线的实轴长．虚轴长．焦点坐标及离心率．

正确答案

（本小题满分13分）

（1）由椭圆+=1⇒c=5．…．（2分）

设双曲线方程为-=1，则⇒

故所求双曲线方程为-=1…．（9分）

（2）双曲线的实轴长2a=6．虚轴长2b=8．焦点坐标（-5，0），（5，0）离心率e=5/3…．（13分）

题型：简答题

简答题

求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．

正确答案

当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为-=1，

把A（3，-1）代入方程得-=1，a2=8，

∴双曲线的标准方程为-=1．（4分）

当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为-=1，

把A（3，-1）代入方程得-=1，a2=-8，这种情况不存在．（6分）

题型：简答题

简答题

已知：F1和F2为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，

（1）求：双曲线的离心率；

（2）若双曲线经过点Q（4，6），求：双曲线的方程．

正确答案

（1）∵F1，F2，P（0，2b）构成正三角形，∴2b=c，

即有3c2=4（c2-a2），则e==2；

（2）∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率e==2，∴c2=4a2，

∵c2=a2+b，∴b2=3a2，∴双曲线方程变为-=1，

∵双曲线经过点Q（4，6），∴-=1，

∴a2=4，则双曲线方程为-=1．

题型：简答题

简答题

设双曲线C：-=1的右焦点为F2，过点F2的直线l与双曲线C相交于A，B两点，直线l的斜率为，且=2；

（1）求双曲线C的离心率；

（2）如果F1为双曲线C的左焦点，且F1到l的距离为，求双曲线C的方程．

正确答案

作双曲线的右准线L：x=，

分别作AA1⊥L，BB1⊥L，垂足分别为A1、B1，作BH⊥AA1，交AA1于H，

根据双曲线第二定义，==e，（e是离心率），

∵=2，

∴|AA1|=2|BB1|=2|A1H|，

∴H为线段AA1的中点，故|A1H|=|AH|，

设|BB1|=m，则|AH|=m，|AA1|=2m①

∵直线AB的斜率为，设AB与x轴成角为θ，则tanθ=，即=，

∴|BH|=|AH|=m，

∴在直角三角形BHA中，|AB|=6m；

∴|AF2|=4m，②

由①②得：e===2；

（2）∵直线方程l为：y=（x-c），即x-y-c=0，

左焦点F1至AB距离d===，

又F1到l的距离为，

∴=，

∴c=2，又e==2，

∴a=1，b=，

∴双曲线方程为：x2-=1．

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