热门试卷

将方程化为标准方程得：-=1

∴a=3，b=4，

∴c2=a2+b2=25

∴c=5

∴焦点坐标：（0，±5），

准线方程y=±=±，渐近线方程：y=±x．

①由题意设所求双曲线方程是：-=1(a＞0，b＞0)

则有e==2，c=2，∴a=1，则b=

∴所求的双曲线的方程为x2-=1；

②∵直线l与y轴相交于M，且过焦点F（-2，0），

∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y=k（x+2）．

令x=0得M（0，2k）

∵||=2||，且M、Q、F共线于l

∴=2或=-2．

当=2时，Q分所成的比λ=2，设Q（xQ，yQ）

则xQ==-，yQ==k

因为Q在双曲线上，所以-=1，解得k=±．

当=-2时，Q分所成的比λ=-2，

同理求得Q（-4，-2k），代入双曲线方程得，16-k2=1，解得k=±．

则所求的直线l的方程为：y=±(x+2)或y=±(x+2)．

（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，-2n），设P（x，y）

由=λ•，得，故P点的坐标为（，），…（3分）

将P点的坐标代入x2-=1，化简得，mn=．…（3分）

（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=．…（1分）

又|OA|=m，|OB|=n，

所以S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn=•=(λ+)+1，…（3分）

记S（λ）=(λ+)+1，λ∈[，3]）．

则S（λ）在λ∈[，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．…（2分）

所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值．

所以△AOB面积的取值范围是[2，]．…（2分）

由题意，点P（a，b）是下述方程组的，并且a＞0．由（1）式得a2=1+b2，因为a＞0，

所以a=＞=|b|，从而a＞b，于是由（2）式得

a-b=2（3）把（3）式代入得（b+2）2-b2=1，

解得b=-，代入(3)得a=.

∴所求的点P的坐标为(，-).