热门试卷

由题意，设双曲线方程为-=1(a＞0，b＞0)，由（3）知a=3，又e=，∴b2=，∴所求双曲线为-=1．

（I）证明：由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．

当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为(2，)，(2，-)，

此时•=(1，)•(1，-)=-1．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．

代入x2-y2=2，有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0．

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=，x1x2=，

于是•=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2)=（k2+1）x1x2-（2k2+1）（x1+x2）+4k2+1=-+4k2+1=（-4k2-2）+4k2+1=-1．

综上所述，•为常数-1．

（II）证法一：由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．

设M（x，y），则=(x-1，y)，=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，=(-1，0)．由=++得：即

于是AB的中点坐标为(，)．

当AB不与x轴垂直时，==，即y1-y2=(x1-x2)．

又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x+2）=（y1-y2）y．

将y1-y2=(x1-x2)代入上式，化简得x2-y2=4．

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（2，0），也满足上述方程．

所以点M的轨迹方程是x2-y2=4．

证法二：同证法一得①

当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1+x2=．②y1+y2=k(x1+x2-4)=k(-4)=．③

由①②③得x+2=．④y=．⑤

当k≠0时，y≠0，由④⑤得，=k，将其代入⑤有y==．整理得x2-y2=4．

当k=0时，点M的坐标为（-2，0），满足上述方程．

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（2，0），也满足上述方程．

故点M的轨迹方程是x2-y2=4．

解析：（Ⅰ）∵双曲线的左焦点为F1（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程可设为y=(x+2)，代入方程x2-=1得，8x2-4x-13=0，（4分）

∴x1+x2=，x1x2=-，

∴|AB|=•|x1-x2|=•=3（8分）

（Ⅱ）∵F2为双曲线的右焦点，且双曲线的半实轴长a=1

∴|AF1|+|BF2|-（|BF1|+|AF2|）=（|AF1|-|AF2|）+（|BF2|-|BF1|）=4a=4（12分）

（Ⅰ）∵抛物线y2=x的焦点为(，0)，（1分）

∴设中心在原点，右焦点为(，0)的双曲线C的方程为-=1．

∵(，0)到双曲线的一条准线的距离为，

∴=-=．（2分）

∴a2=×=．∴b2=c2-a2=()2-=1．（3分）

∴双曲线C的方程为3x2-y2=1．（4分）

（Ⅱ）（1）由得（3-k2）x2-2kx-2=0．（5分）

由得-＜k＜(k≠±)．①（7分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵OA⊥OB，∴y2y1+x2x1=0，y1=kx1+1，y2=kx2+1．（9分）

∴（kx1+1）（kx2+1）+x1x2=0．即x1x2（1+k2）+k（x1+x2）+1=0．②

将x1+x2=，x1x2=，代入②，解得k=±1，满足①．

∴k=±1时，以AB为直径的圆过原点．（10分）

（2）假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称（a为常数），

则由④、⑤得a（x1+x2）=k（x1+x2）+2．（12分）

将x1+x2=代入上式，得2ak=6，∴ak=3．与③矛盾．（13分）

∴不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．（14分）