椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的焦点到一条渐近线l的距离为4，若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的切线，则双曲线的标准方程为______．

正确答案

f′（x）=3x2-6x+2．设切线的斜率为k．

切点是原点，k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．

∵双曲线的一条渐近线方程是 y=2x，

∴=2

又∵==4

∴c=2，∵c2=a2+b2∴a2=4 b2=16

∴双曲线方程为-=1

故答案为-=1．

题型：填空题

填空题

设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则||||=______．

正确答案

∵椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2，

∴m-2=3+1，

∴m=6，

∴|PF1|+|PF2|=2 ，||PF1|-|PF2||=2 ，

两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12，

∴|PF1|•|PF2|=3．

故答案为：3．

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1）、e2=（2，-1）分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线Γ上的点P，若，

则a、b满足的一个等式是（）。

正确答案

4ab=1

题型：简答题

简答题

曲线C是中心在原点，焦点为F(，0)的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=x．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且•=0，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．

正确答案

（1）设曲线C的方程为-=1(x≥a，a＞0，b＞0)

∵一条渐近线方程是y=x，c=

∴a=2b，a2+b2=c2=5

∴a=2，b=1

故所求曲线C的方程是-y2=1(x≥2)…（5分）

（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），

①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m

由，

此时1-4k2≠0

∴…（7分）

由•=0⇒(x1-2)(x2-2)+y1y2

=（x1-2）（x2-2）+（kx1+m）（kx2+m）=0

∴（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0

（1+k2）•+（km-2）•+m2+4=0

整理有3m2+16km+20k2=0⇒m=-，或m=-2k…（10分）

当m=-2k时，直线L过点E，不合题意

当m=-，则直线l的方程为y=kx-=k(x-)

则直线l过定点（，0）…（12分）

②当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，

由•=0，

有x12-4x1+4-=0，又-=1

从而有x1=x2=．此时直线L过点(，0)

故直线l过定点(，0)…（15分）

题型：简答题

简答题

（文）已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，满足•=0，||=2||．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）过点P作与实轴平行的直线，依次交两条渐近线于Q，R两点，当•=2时，求双曲线的方程．

正确答案

（I）设PPF1=m，PF2=n（m＞n）

∵•=0，||=2||．

∴

∴5a2=4c2

∴e==

（II）由（I）可得，b2=c2-a2=a2

∴双曲线的方程x2-4y2=a2，渐进线方程为y=±x

设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y）

∵•=（2y-x，0）•（-2y-x，0）=x2-4y2=2

∴a2=2，b2=

∴双曲线方程为-2y2=1

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