椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(，0)，

1=(2，1)、

2=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若=

1+（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是______．

正确答案

因为

1=(2，1)、

2=(2，-1)是渐进线方向向量，

所以双曲线渐近线方程为y=±x，

又c=，∴a=2，b=1

双曲线方程为-y2=1，=

1+=（2a+2b，a-b），

∴-(a-b)2=1，化简得4ab=1．

故答案为4ab=1．

题型：简答题

简答题

过双曲线-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：•为定值．（2）若=，求动点M的轨迹方程．

正确答案

解．（1）∵双曲线-x2=1的上支可表示为函数y=，且y′=×=

设P（x0，y0）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y0=（x-x0）

即y-y0=（x-x0），即y0y-3x0x=3，

与渐近线方程y=x联立，解得A(，)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±x0≠0）；

与渐近线y=-x联立，解得B(，)，

∴•=+=+=2（定值）

（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由=知=+，由（1）有

即

再由P（x0，y0）在双曲线-x2=1 （y＞0）上

∴-=1，

∴-=1

故所求轨迹为-=1(y＞0)．

题型：简答题

简答题

已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

（I）若动点M满足=++（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；

（II）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

由条件知F1（-2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）

（I）设M（x，y），则=(x+2，y)，=(x1+2，y1)，=(x2+2，y2)，=(2，0)，

由=++，得，即，

于是AB的中点坐标为(，)，

当AB不与x轴垂直时，==，即y1-y2=(x1-x2)，

又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，

两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x-4）=（y1-y2）y，

将y1-y2=(x1-x2)代入上式，化简得（x-6）2-y2=4，

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，

所以点M的轨迹方程是（x-6）2-y2=4．

（II）假设在x轴上存在定点C（m，0），使•为常数，

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），

代入x2-y2=2有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=，x1x2=，

于是•=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=-+4k2+m2

=+m2

=2(1-2m)++m2．

因为•是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时•=-1，

当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，)，(2，-)，

此时•=(1，)•(1，-)=-1，

故在x轴上存在定点C（1，0），使•为常数．

题型：填空题

填空题

设P是双曲线y=上一点，点P关于直线y=x的对称点为Q，点O为坐标原点，则•=______．

正确答案

P是双曲线y=上一点

设 P(x1，)，

∵点P关于直线y=x的对称点为Q，则 Q(，x1)，

∴•=(x1，)•(，x1)=x1•+•x1=2．

故答案为：2

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在该双曲线上，若•=0，则|+|=______．

正确答案

因为-=1 ，a=3， b=4 ， c=5，•=0，

所以(

PF1

PF2

)2=|

PF1

|2 +|

PF2

|2+ 2•=|

PF1

|2 +|

PF2

=（2c）2=100

所以|+|=10

故答案为：10

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