热门试卷

（1）将方程化为标准方程得：+=1，

∴a=2，b=，

∴c2=a2-b2=2，∴c=

∴焦点坐标：（±，0），准线方程x=±2；

（2）将方程化为标准方程得：-=1，

∴a=，b=2，

∴c2=a2+b2=6，∴c=

∴焦点坐标：（0，±），准线方程x=±；

（3）由抛物线方程为x2=-y，

对比标准方程x2=-2py（p＞0）可得2P=-1，P=-，

∴焦点F（0，-），

准线方程为：y=-．

（I）由双曲线C的方程为-=1可得a=2，b=，

∴c=3，e==．

左右焦点分别为F1（-3，0），F2（3，0）．

由直线x-my-3=0可知：直线恒过定点焦点F2（3，0）．

于是直线与双曲线的右支相交，设两点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．

由双曲线的第二定义可得：=e=，即|AF2|=x1-2，同理|BF2|=x2-2．

∴|AB|=|AF2|+|BF2|=(x1+x2-4)，由题意可得：(x1+x2)-4=5，∴|x1+x2|=6，

由直线过焦点F2（3，0），可知x1=x2=3，

此时直线垂直于x轴，∴m=0．

（II）双曲线C的渐近线方程分别为l1：y=x，l2：y=-x．

设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0）．

则y1=x1，y2=-x2，x=，y==•．

由点P（x，y）在双曲线-=1上，∴-•=1，

化简得x1x2=，又||==|x1|，同理可得：||=|x2|，

∴|| ||=•(λ＞0)，

令u（x）==λ++2，

又u（λ）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，而λ∈[，]，

∴u（λ）min=u（1）=4，u（λ）max=u()=．

于是：|| ||的最大值为，最小值为9．

设点D的坐标为（，0），则点A，D是双曲线的焦点，

由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=2．

∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，

又B是圆x2+（y-）2=1上的点，圆的圆心为C（0，），

半径为1，故|BD|≥|CD|-1=-1，从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1，

当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+1．

若M、N是双曲线C′：-=1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．证明如下：

设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x0，y0），N（-x0，-y0）是双曲线上的关于原点对称的两个点．

则-=1，-=1，

∴n2-=b2(-1)-b2(-1)=(m2-)．

∴kPM•kPN=•==为定值．