椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，两准线间的距离为，并且与直线y=(x-4)相交所得线段中点的横坐标为-，求这个双曲线方程．

正确答案

由题意可设所求双曲线方程为：-=1(a＞0，b＞0)，

设直线 y=（x-4）与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），

则（1）-（2）得：-=0

即=，

又由线段AB中点的横坐标为-可得，其纵坐标为(--4)=-，

∴x1+x2=2×(-)=-，y1+y2=2×(-)=-．

又∵=，

∴=，

∴b2=a2，c2=a2+b2=a2，c=a

又∵双曲线两准线间的距离为，

∴2×=，

∴2×=

∴a=3，a2=9，c2=a2=16．

∴b2=c2-a2=7．

∴所求双曲线方程为：-=1．

题型：简答题

简答题

求以椭圆3x2+13y2=39的焦点为焦点，以直线y=±为渐近线的双曲线方程．

正确答案

椭圆3x2+13y2=39可化为+=1，其焦点坐标为（±，0），

∴设双曲线方程为-=1，

∵直线y=±为渐近线，

∴=，

∴a2=8，

故双曲线方程为-=1．

题型：简答题

简答题

已知动双曲线的右顶点在抛物线y2=x-1上，实轴长为定值4，右准线恰为y轴．

（Ⅰ）求动双曲线中心的轨迹方程；

（Ⅱ）求虚半轴长的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）：设双曲线的中心为（x，y），由于右准线为y轴，故x＜0．

∵实轴长为4，故a=2．

∴双曲线的右顶点为（x+2，y）．

由题意知点（x+2，y）在抛物线y2=x-1上，

∴y2=（x+2）-1=x+1．

∴双曲线中心的轨迹方程为y2=x+1（-1≤x＜0）．…（6分）

（Ⅱ）：设双曲线方程为-=1(a＞0，b＞0)．

∵a=2，故c=．

由x-x0=，得右准线为x=x0+．

而右准线方程为x=0，

∴x0+=0．

∴x0=-=-．

由（Ⅰ）知=x0+1，

故=-+1≥0．

化简得b2≥12，故b≥2．

∴虚半轴长的取值范围是[2，+∞)．…（14分）

题型：简答题

简答题

已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y±x=0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．

正确答案

设此双曲线的方程为y2-3x2=k（k≠0），

当k＞0时，a2=k，b2=，c2=k，此时焦点为（0，±），

由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y2-3x2=27；

当k＜0时，a2=-，b2=-k，c2=-k，此时焦点为（±，0），

由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y2-3x2=-9，即3x2-y2=9．

∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9．

题型：简答题

简答题

双曲线C的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||=2||，且与同向．

（1）求双曲线C的离心率；

（2）设AB被双曲线C所截得的线段的长为4，求双曲线C的方程．

正确答案

（1）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），设渐近线y=x的倾斜角为α，则∠BOF=∠FOA=α，

由BF⊥OB，可得∠OFA=90°+α，

∵△OFA中，||=2||，

∴根据正弦定理=，得sin∠OFA=2sin∠FOA，

即sin（90°+α）=2sinα，可得cosα=2sinα，

∴tanα==，即=，得a=2b，c==b，

因此，双曲线C的离心率e===；

（2）由（1）得a=2b，双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2…①

设l1的斜率为=，可得直线AB的斜率k=-2，得直线AB的方程为y=-2（x-c），

即y=-2（x-b），…②

将②代入①并化简，得15x2-32bx+84b2=0

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则

x1+x2=b，x1x2=…③

∵AB被双曲线所截得的线段长为l=•|x1-x2|=

∴将③式代入，并可得l==

∵根据已知条件得l=4，∴=4，解得b=3，从而得到a=6．

因此，所求双曲线的方程为-=1．

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