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题型：简答题

简答题

已知抛物线的焦点和双曲线3x2-y2=1的一个焦点重合，求抛物线的标准方程．

正确答案

双曲线3x2-y2=1的两个交点为F1(-，0)，F2(，0)，

①当所求抛物线的焦点与F1(-，0)重合时，

抛物线的方程为y2=-x；

②当所求抛物线的焦点与F2(，0)重合时，

抛物线的方程为y2=x．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的焦距为18，则双曲线的渐近线方程为______．

正确答案

由双曲线-=1可得a2=36，b2=m，∴c=，

∵双曲线的焦距为18，∴2=18，解得m=45．∴==．

∴双曲线的渐近线方程为y=±x．

故答案为y=±x．

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为______．

正确答案

∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F(，0)的距离为4，∴+a=4；

又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），∴渐近线的方程应是y=x，而抛物线的准线方程为x=-，因此-1=×(-2)，-2=-，

联立得，解得，

∴2c=2=2．

故双曲线的焦距为2．

故答案为2．

题型：简答题

简答题

已知F1、F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率．

正确答案

由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1=30°，

∴|AF1|=|AF2|，又|AF2|-|AF1|=2a．

∴AF2=4a，AF1=2a，又F1F2=2c，

又在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a2+4c2=16a2，∴=3．

∴e==．

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的离心率e∈[，2]，在双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则θ的取值范围是______．

正确答案

根据题意，易得双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b；

由双曲线的意义，可得e2===1+，

由题意可得2≤1+≤4，即1≤≤3，化简可得1≤≤；

进而可得：tan=，即1≤tan≤，

进而可得≤≤；即≤θ≤；

故答案为[，]；

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