椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

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题型：填空题

填空题

已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=______．

正确答案

双曲线C：x2-y2=2的方程：-=1

故a2=b2=2

即a=b=

即c==2

由|PF1|=2|PF2|，

则|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2，

则|PF1|=4

在△F1PF2中，cos∠F1PF2====

故答案为：

题型：简答题

简答题

点P是双曲线-y2=1右支上的点，直线l交双曲线的两条渐近线于A，B两点，且P为线段AB的中点

（1）若P(2，1)，求直线l的方程；

（2）若直线l的斜率为2，求l的方程．

正确答案

（1）设直线l的方程为y=k（x-2）+1，代入-y2=0，

可得（1-4k2）x2-8k(1-2k)x+4(1-2k)2=0

∵P为线段AB的中点

∴4=，∴k=

∴直线l的方程为y=x-1；

（2）设l：y=2x+m，联立两条渐近线得到交点坐标为A(-，-)，B(-，)，

从而得中点P(-，-)，把P点坐标代入双曲线方程，解得m2=15，

因为P在右支，m＜0，所以m=-，所以y=2x-．

题型：填空题

填空题

已知双曲线c：-=1（a＞．，b＞0）的半焦距为c，过左焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左、右支各有一个交点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的线段长大于be2．（e为双曲线c的离心率），则e的取值范同是______．

正确答案

∵抛物线y2=4cx的准线：x=-c，

它正好经过双曲线C：-=1（a＞b＞0）的左焦点，

∴准线被双曲线C截得的弦长为：2×，

∴2×＞be2，即：c2＜3ab，又c=．

解得：e=＜，

又过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，

∴e＞．

则e的取值范同是（，）．

故答案为：（，）．

题型：填空题

填空题

已知抛物线x2=2py（p＞0）的准线过双曲线-=1的一个顶点，则抛物线的焦点坐标为为______．

正确答案

双曲线方程-=1，

∴a=4，∴双曲线的一个顶点（0，-4）

∴抛物线的准线方程为y=-4

∴p=16，

∴抛物线的焦点坐标为（0，4）．

故答案为：（0，4）．

题型：简答题

简答题

若一个椭圆与双曲线x2-=1焦点相同，且过点（-，1）．

（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．

正确答案

（I）由双曲线x2-=1得焦点F1（-2，0），F2（ 2，0），…（2分）

由条件可知，椭圆过点（-，1），

∴2a=+，a2=6，

∴b2=6-4=2，

这个椭圆的标准方程+=1．

（II）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）的中点为R（x，y），

则+=1，+=1，

两式相减并整理可得 +=0①

将 =2代入式①，

得所求的轨迹方程为x+3y=0（椭圆内部分）．

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