椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：填空题

填空题

经过双曲线-=1(a＞0，b＞0)上任一点M，作平行于实轴的直线，与渐近线交于P，Q两点，则•=______．

正确答案

设M（x，y），则有：- =1⇒x2=a2(1+) ①

且P（-y，y），Q（y，y），

∴=(-y-x，0)，=(y-x，0)

∴•=（-y-x）•（y-x）+0=x2-y2=a2(1+)-y2=a2．

故答案为a2．

题型：填空题

填空题

设F1和F2为双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为______．

正确答案

设F1（-c，0），F2（c，0），则|F1P|=，

∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，

∴=2c，∴c2+4b2=4c2，

∴c2+4（c2-a2）=4c2，

∴c2=4a2，

∴e2=4，

∴e=2．

答案：2．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的渐近线方程为______．

正确答案

∵双曲线方程为- =1，则渐近线方程为- = 0，即 y=±x，

故答案为：y=±x．

题型：简答题

简答题

设双曲线-=1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．

（I）求双曲线的渐近线方程；

（II）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线C交于P、Q两点，且•=0，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

正确答案

（I）∵e=

∴a2=1

∴双曲线渐近线方程为y=±

（Ⅱ）假设过点N（1，0）能作出直线l，使l与双曲线C交于P、Q两点，

且•=0

若过点N（1，0）的直线斜率不存在，则不适合题意，舍去．

设直线l方程为y=k（x-1），P（x1，y1），Q（x2，y2）

∴

①代入②得：（3k2-1）x2-6k2x+3k2-3=0

∴

∵•=0

∴y1y2+x1x2=0

∴（k2+1）x1x2-k2（x1+x2）+k2=0

∴=0

∴k2=-3不合题意．

∴不存在这样的直线．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2之夹角为，则△PF1F2的面积为 ______．

正确答案

∵双曲线-=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2之夹角为，

∴△PF1F2的面积=16cot=16．

故答案为：16．

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