椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：填空题

填空题

已知F1、F2分别为双曲线C：-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=______．

正确答案

不妨设A在双曲线的右支上

∵AM为∠F1AF2的平分线

∴===2

又∵|AF1|-|AF2|=2a=6

解得|AF2|=6

故答案为6

题型：简答题

简答题

（理）已知双曲线-=1及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

设弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），则

①-②：-=0

若P（2，1）为AB的中点，则x1+x2=4，y1+y2=2

∴-=0

∴=

∴过点P的直线l方程为：y-1=(x-2)

即8x-9y-7=0

经验证，将y=x-代入-=1得28x2-112x+373=0

∴△=1122-4×28×373＜0

∴直线不满足题意，故这样的直线不存在．

题型：简答题

简答题

已知F为椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线l过点F且与双曲线-=1的两条渐近线l1，l2分别交于点M，N，与椭圆交于点A，B．

（Ⅰ）若∠MON=，双曲线的焦距为4．求椭圆方程．

（Ⅱ）若•=0（O为坐标原点），=，求椭圆的离心率e．

正确答案

（Ⅰ）∵双曲线-=1的焦点在x轴上，

∴渐近线方程为y=±x

∴渐近线l1的斜率为

又∵∠MON=，M，N是直线l与双曲线两条渐近线l1，l2的交点，

∴渐近线l1的倾斜角为，

∴=tan=，即a=b

∵双曲线的焦距为4，

∴a2+b2=4．

把a=b代入，得，a2=3，b2=1

∴椭圆方程为+y2=1

（Ⅱ）设椭圆的焦距为2c，则点F的坐标为（c，0）

∵•=0，∴l⊥l1

∵直线l1的方程为y=-x，∴直线l的斜率为，

∴直线l的方程为y=(x-c)

联立l1，l方程，由解得

即点N(，)

设A（x，y），由=，得(x-c，y)=(-x，-y)

即，解得，

∴A(，)

∵点A在椭圆上，代入椭圆方程，得+=1

即（3c2+a2）2+a4=16a2c2，

∴（3e2+1）2+1=16e2，即9e4-10e2+2=0

解得e2=

∴e=

椭圆的离心率是e=

题型：填空题

填空题

已知函数f(x)=ax+（b≠0）的图象是以直线y=ax和y轴为渐近线的双曲线．则由函数f(x)=+表示的双曲线的实轴长等于______．

正确答案

如图，由函数f(x)=+表示的双曲线的是以直线y=x和y轴为渐近线的双曲线．

∵直线y=x的倾斜角为：30°，

则直线OA（即双曲线的实轴所在的直线）的倾斜角为：60°，

故直线OA的方程为：y=x，

由方程组：

解得A（，3）

∴双曲线的实轴长等于2×OA=2=4．

故答案为：4．

题型：填空题

填空题

已知双曲线x2-=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=______．

正确答案

该双曲线的渐近线方程为x2-=0，即y=±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，又b＞0，可以得出b=2．

故答案为：2．

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