椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：填空题

填空题

设点F1、F2为双曲线C：x2-=1的左、右焦点，P为C上一点，若△PF1F2的面积为6，则•=______．

正确答案

由题意可得，2c=F1F2=4，F1（-2，0），F2（2，0）

∵P在双曲线上

∴-=1

∴S△PF 1F2=•2c|yp|=2|yp|=6

∴|yp|=3，xp2=4

则•=（-2-xp，-yp）•（2-xp，-yp）

=xp2-4+yp2=xp2+5=9

故答案为：9

题型：填空题

填空题

设F1、F2是双曲线-=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于______．

正确答案

依题意可知a2=4，b2=1

所以c2=5

∴|F1F2|=2c=2

令|PF1|=p，|PF2|=q

由双曲线定义：|p-q|=2a=4

平方得：p2-2pq+q2=16

∵•=0，∴∠F1PF2=90°，由勾股定理得：

p2+q2=|F1F2|2=20

所以pq=2

即|PF1|•|PF2|=2

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为______．

正确答案

由题意可得由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），=2．

∴=（a，b），=（-c，b）．设与的夹角为θ，则cosθ=====，

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-y2=1与射线y=x（x≥0）公共点为P，过P作两条倾斜角互补且不重合的直线，它们与双曲线都相交且另一个交点分别为A，B（不同于P）．

（1）求点P到双曲线两条渐近线的距离之积；

（2）设直线PA斜率为k，求k的取值范围；

（3）求证直线AB的斜率为定值．

正确答案

（1）由，得P（2，1），

双曲线-y2=1的渐近线方程是x-2y=0和x+2y=0，

点P（2，1）到两条渐近线x-2y=0和x+2y=0的距离分别是

d1=和d2=，

∴点P到双曲线两条渐近线的距离之积

d1d2==．

（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为：y-1=k（x-2），

即kx-y+1-2k=0，

由，消去y，并整理，得（1-2k2）x2+（8k2-4k）x+8k-8k2-4=0，

∵直线PA与双曲线-y2=1有两个交点，

∴△=（8k2-4k）2-4（1-2k2）（8k-8k2-4）＞0，

即k2-2k+1＞0，

∴k≠1．

故k的取值范围是（-∞，1）∪（1，+∞）．

（3）∵P（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵PA和PB是两条倾斜角互补且不重合的直线，

设PA斜率是m，则PB斜率是-m

则PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，

分别与双曲线方程联立，得

-(mx1-2m+1)2=1，

（1-2m2）x12+（8m2-4m）x1+8m-8m2-4=0，

∵2是方程的一个根，

∴x1=-2，

同理，x2=-2，

∴x1-x2=，

∵y1=m(-4)+1，

y2=-m(-4)+1，

∴y1-y2=，

∴kAB===-1．

即直线AB的斜率为定值-1．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的两条渐近线所夹的锐角等于______．

正确答案

由题意，双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x，∴两条渐近线所夹的锐角等于600故答案为：600

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