热门试卷

双曲线-=1的右焦点为（5，0），设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），M（x，y），则，两式相减化简得=，，又AB的斜率为，∴=

∵抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），

∴不妨设双曲线的焦点F1（1，0），

∵双曲线过点A（-2，4）和B（4，4），

∴|AF1|=|BF1|=5，

由双曲线的定义知，||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||，即|5-|AF2||=|5-|BF2||，

（1）当5-|AF2|=5-|BF2|时，即|AF2|=|BF2|，

∴焦点F2的轨迹是线段AB的中垂线，其方程为x=1（y≠0），

（2）当5-|AF2|=|BF2|-5时，即|AF2|+|BF2|=10＞6，

∴焦点F2的轨迹是以A、B为焦点，长轴为10的椭圆，

∴其中心是（1，4），a=5，c=3，∴b2=25-9=16，

其方程为+=1（y≠0）．

∴所求的轨迹方程为：x=1（y≠0）或+=1（y≠0）．

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0

∵该直线与圆 x2+(y-)2=1相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）

故设双曲线C的方程为-=1，又∵双曲线C的一个焦点为(，0)

∴2a2=2，a2=1，∴双曲线C的方程为x2-y2=1…（6分）

（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|

若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|…（8分）

根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2(，0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x-)2+y2=4(x≠0)①…（10分）

由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（xT，yT）

则，，即…（12分）

代入①并整理得点N的轨迹方程为 x2+y2=1，(x≠)…（14分）