热门试卷

（解一）：（1）设直线方程为y=k1x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k12）x2+4k1bx+2b2-2=0，（2分）

x1+x2=-，又中点M在直线上，所以=k1•)+b

从而可得弦中点M的坐标为(-，)，k2=-，所以k1k2=-．（4分）

（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0） 则x0=，y0=

K2==，k1=   （2分）

又x12+y12=1与x22+y22=1作差得  -=

所以 K1K2=-            （4分）

（2）对于椭圆，K1K2=-  （6分）

已知斜率为K1的直线L交双曲线+=1（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设K1、k2都存在）．

则k1，k2⋅的值为． （8分）

（解一）设直线方程为y=k1x+d，代入+=1（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b2-a2k12）x2-2k1a2dx-（ad）2-（ab）2=0

(y1+y2)=，

所以K2===，k1= （2分），即k1k2=     （10分）

（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x0，y0）

则x0=，y0=，K2==，k1= （2分）

又因为点A，B在双曲线上，则

-=1与-=1作差得

==k1k2    即k1k2= （10分）

（3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则k1k2=-．（12分）

提出问题与解决问题满分分别为（3分），提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值．

提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．（15分）

解法1：设直线方程为y=kx，A，B两点坐标分别为（x1，y1）、（-x1，-y1），则y1=kx1

把y=kx代入mx2+ny2=1得（m+nk2）x2=1，

KPA•KPB==，

所以KPA•KPB===-（18分）

提出的问题的例如：直线L：y=x，P为二次曲线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点．试问使∠APB=30°的点P是否存在？（13分）

问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求PA+PB的值．

2）直线l过原点，P为二次曲线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求S△PAB的最值．

（1）∵=，得=，∴渐近线l1，l2的方程为y=±3x；

（2）设M（x0，y0），A（x1，3x1），B（x2，-3x2），

=（x0-x1，y0-3x1），=（x0-x2，y0+3x2），

∴y0-3x1=3y0+9x2

∴y0=（-3x2-x1），∵-=1，

∴4b2=-12x1x2，即b2=-3x1x2，

∵•=8，

∴x1x2+3x1（-3x2）=8，x1x2=-1，

∴b2=3，a2=27，

∴椭圆的方程为；+=1．

（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：+=1（6分）

（2）设双曲线方程为：x2-4y2=λ，（9分）

∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22-4×22=-12，

故双曲线方程为：-=1．（12分）