椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：填空题

填空题

直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______．

正确答案

设椭圆方程为：

+=1 a＞b＞0

c=1，a2-b2=c2=1

设P的坐标为：﹙m．m+3﹚P在椭圆上

+=1，

﹙a2-1﹚m2+a2﹙m2+6m+9﹚=a2﹙a2-1﹚=﹙a2﹚2-a2﹙2a2-1﹚m2+6a2m+10a2-﹙a2﹚2=0

△=﹙6a2﹚2-﹙8a2-4﹚﹙10a2-a4﹚≥0

36a4-80a4++40a2+8a6-4a4≥0

-48a2+40+8a4≥0，a4-6a2+5≥0

﹙a2-5﹚﹙a2-1﹚≥0

a2≤1或 a2≥5

∵c2=1，a2＞c2∴a2≥5，长轴最短，即a2=5

b2=a2-1=4

所以：所求椭圆方程为：+=1．

故答案为：+=1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的一条渐近线为x+y=0，且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

正确答案

椭圆方程为+=1，可知椭圆的焦距为8

①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）

∴解得

∴双曲线的标准方程为-=1（6分）

②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）

∴解得

∴双曲线的标准方程为-=1

由①②可知，双曲线的标准方程为-=1或-=1（12分）

题型：简答题

简答题

已知二次曲线Ck的方程：+=1．

（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

（2）若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；

（3）m、n为正整数，且m＜n，是否存在两条曲线Cm、Cn，其交点P与点F1(-，0)，F2(，0)满足PF1⊥PF2，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）当且仅当⇒k＜4时，方程表示椭圆；----（2分）

当且仅当（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9时，方程表示双曲线．---（4分）

（2）化简得：（13-2k）x2+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）

△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）

双曲线的实轴为2，当k=6时，双曲线实轴最长为2

此时双曲线方程为-=1-------（10分）

（3）由（1）知C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，结合图象的几何性质

任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点------（12分）

设|PF1|=d1，|PF2|=d2，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}

由椭圆与双曲线定义及•=0；所以m+n=8-----（16分）

所以这样的Cm，Cn存在，且或或-----（18分）

题型：填空题

填空题

以双曲线-=1的顶点和焦点分别作焦点和两个顶点的椭圆标准方程是______．

正确答案

双曲线 -=1的顶点为（2，0）和（-2，0），焦点为（-3，0）和（3，0）．

∴椭圆的焦点坐标是（2，0）和（-2，0），顶点为（-3，0）和（3，0）．

∴椭圆方程为 +=1．

故答案为：+=1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：+=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值-．试对双曲线-=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．

正确答案

双曲线类似的性质为：

若A，B是双曲线-=1(a＞0，b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是双曲线上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值．

证明：设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（-x1，-y1），

且-=1①，-=1②，

两式相减得：b2(-)-a2(-)=0，

∴kPA•kPB=•==

即kPA•kPB=，是与点P位置无关的定值．

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